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三角関数を含んだ連立方程式の解き方について
三角関数を含んだ連立方程式の解き方について 連立方程式、 1-2*cos(3*x)+2*cos(3*y)=0 1-2*cos(5*x)+2*cos(5*y)=0 でxとyを求めるというものです。 解答はx=23.62°y=33.30°となっていますが、途中式が全て省略されています。 三角関数の入った連立方程式を初めて見たもので、 何らかの三角関数の公式を使うと思うのですが、いい解法が思いつきません。 どのようにして解を導けばよいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- aghaergeas
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- 178-tall
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>連立方程式、 >1-2*cos(3*x)+2*cos(3*y)=0 >1-2*cos(5*x)+2*cos(5*y)=0 >でxとyを求める 実戦流。 スプレッドシートで強引に下記試行。 φ = acos[cos(θ) - 1/2] ← cos(θ) - cos(φ) = 1/2 から {θ,φ} の表をつくり、それに平行して、 cos(3θ/5) - cos(3φ/5) = dc の表を追加。 dc ≒ 1/2 の行の {θ,φ} を眺めると、 θ = 2.06 (rad) … 5x 相当 φ = 2.91 (rad) … 5y 相当
お礼
ご回答ありがとうございます。 スプレッドシートというと、エクセルでしょうか。 あいにく自宅のパソコンにはエクセルが無いため、試してみることが出来ませんが、 いずれ試してみようと思います。 しかしながら、この手の問題を手計算でやるには本当に大変だなぁ、と実感しました。 皆さんのご回答を見ながら、自分の頭がいかに柔軟でないかを思い知らされます…。
- sanori
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こんにちは。 1 - 2cos(3x) + 2cos(3y) = 0 1 - 2cos(5x) + 2cos(5y) = 0 書き直すと cos(4x-x) + cos(4y-y) = 1/2 cos(4x+x) + cos(4y+y) = 1/2 加法定理を使って cos(4x)cos(-x) - sin(4x)sin(-x) + cos(4y)cos(-y) - sin(4y)sin(-y) = 1/2 cos(4x)cos(x) - sin(4x)sin(x) + cos(4y)cos(y) - sin(4y)sin(y) = 1/2 から cos(4x)cos(x) + sin(4x)sin(x) + cos(4y)cos(y) + sin(4y)sin(y) = 1/2 ・・・（あ） cos(4x)cos(x) - sin(4x)sin(x) + cos(4y)cos(y) - sin(4y)sin(y) = 1/2 ・・・（い） となります。 （あ）＋（い）より 2cos(4x)cos(x) + 2cos(4y)cos(y) = 1 ・・・（う） （あ）－（い）より 2sin(4x)sin(x) + 2sin(4y)sin(y) = 0 ・・・（え） となります。 cos(x) = ａ， cos(4x) = ｂ とでも置いてみて、 （う）と（え）と、(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 と、(sin(4x))^2 + (cos(4x))^2 = 1 を用いれば 何とかなりそうな気がしますが。
お礼
ご回答ありがとうございます。 式の変形で（う）、（え）が得られるのは分かりましたが、 >>（う）と（え）と、(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 と、(sin(4x))^2 + (cos(4x))^2 = 1 を用いれば >>何とかなりそうな気がしますが。 という部分で解けそうで解けなく、詰まってしまいました。 自分のやり方がわるいと思いますが、もしまだsanoriさんが見ておられましたら、 ヒントを教えていただけませんでしょうか。 ともあれ、何とかなりそうな希望が見えてきました。ありがとうございます。
- Kules
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とりあえず問題を見てぱっと思いついたのは 1-2*cos(3*x)+2*cos(3*y)=1+(sin{3(x+y)}-sin{3(x-y)}) 1-2*cos(5*x)+2*cos(5*y)=1+(sin{5(x+y)}-sin{5(x-y)})←積和の公式 となるのでx+y=α、x-y＝βとすると 1+sin3α-sin3β=0、1+sin5α-sin5β=0 となります。 3倍角、5倍角でこれをばらしていけば2式はsinα、sinβだけで表せるので sinαとsinβの連立方程式として解けそうです。 でも解きたくないです(笑) あまりどこかできれいに文字が消えるとも思いませんし… 力技でよければこれで解けそうですが、試してないのでなんとも言えません。 お役に立てなさそうですね…出直してきます。
お礼
お返事が遅くなり申し訳ありません、ご返事ありがとうございます。 試してみましたが、どうにもsinのべき乗の項が多く出てきてしまいますね…。 実際綺麗に消える…ことはありませんでした（笑） ヒントを与えて下さりありがとうございました。
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お礼
大変返事が遅くなり、申し訳ありません。 なるほど、関係式が足りないのですね。 倍角の式もすっかり忘れてしまっており、 今回の問題は三角関数の勉強のいい復習の機会になりました。 sanoriさんをはじめ、皆さんご回答していただきありがとうございました。