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三角関数の方程式
y=x+√(3)*sin(x)-cos(x) 0<=x<=2π のときの微分係数が0になるxを求めたい。 y'=1+√(3)*cos(x)+sin(x) y'=0 より 1+√(3)*cos(x)+sin(x)=0 ---(1) (1)を解くのに cos^2(x)+sin^2(x)=1 を使って sin(x)=√(1-co^2(x))を代入して求めたら x=π/2,3π/2,5π/6,7π/6 が得られたのですが、π/2と7π/6は y'が0になりません。 定義域の関係なのかよくわかりません。 なぜ得られたπ/2と7π/6をy'の式に代入したら0にならないか教えて下さい。
- butanohoppe
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- info22
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>なぜ得られたπ/2と7π/6をy'の式に代入したら0にならないか教えて下さい。 > sin(x)=√(1-co^2(x)) とおけるのは sin(x)≧0の場合だけです。 sin(x)＜0の場合は -sin(x)=√(1-co^2(x)) を使って代入しないとダメです。 これが間違いの原因です。 >1+√(3)*cos(x)+sin(x)=0 これは三角関数の合成をつかって 1+2sin{x+(π/3)}=0 として sin{x+(π/3)}=-1/2 を解いて x+(π/3)=2nπ-(π/2)±(π/3) x=2nπ-(5π/6)±(π/3) (nは任意の整数) n=0の時 x=-π/2,-7π/6 n=1の時 x=3π/2,5π/6 n=2の時 x=7π/2,17π/6 … などとなります。 なので >x=π/2,3π/2,5π/6,7π/6 が得られたのですが、π/2と7π/6は >y'が0になりません。 x=π/2と7π/6はy'=0の解に含まれていません。
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- debut
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sin(x)=√(1-cos^2(x))を入れた時点で sin(x)≧０かつsin(x)=-1-(√3)cos(x)≧0つまりcos(x)≦-1/(√3) を仮定するわけなので、変域は θ(θはcos(x)=-1/(√3)となる角のうちπより小さい方)≦x≦π ［※-1/(√3)=-(√3)/3で-(√3)/2より大きいからθは5π/6より小］ となっているから、解は5π/6だけになり、 同様に、sin(x)=-√(1-cos^2(x))を入れれば変域は θ(θはcos(x)=-1/(√3)となる角のうちπより大きい方)＜x≦２π となるので、解は3π/2だけになります。 このような面倒なことや誤りを防ぐため、No1のかたの言っている ように合成で解く方がいいと思います。
質問者からのお礼
早速の回答ありがとうございます。 あとで sin(x)=±√(1-co^2(x)) までは気づいたのですが、二乗してしまいました。
- 回答No.1
- de_tteiu
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＞cos^2(x)+sin^2(x)=1 を使って sin(x)=√(1-co^2(x)) これが違いますよね cos^2(x)+sin^2(x)=1 より sin(x)=±√(1-co^2(x))です まあ、普通は 三角関数の合成を使うんですが
質問者からのお礼
早速の回答ありがとうございます。 あとで sin(x)=±√(1-co^2(x)) までは気づいたのですが、二乗してしまいました。
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