三角比の条件発生

質問

三角比の条件発生

π<θ<2πでtanθ＝２のときcosθは？？
１＋tan^2θ=1/cos^2θに代入して1/cos^2θ=5 cos^2θ＝1/5
cosθ=+-1/√5
π<θ<2π,tanθ>0よりπ<θ<3π/2
cosθ<0よりcosθ=-1/√5

sinθ+cosθ=√3/2(π/2<θ<π）のとき、次の値を求めよ。

(1)sinθcosθ

sinθ+cosθ＝√3/2の両辺を２乗するとsin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ=3/4 1+2sinθcosθ＝3/4
よって sinθcosθ=1/2(3/4-1)=1/8

教えてほしいところ
π<θ<2πという範囲は広く条件としてとられていますよね？？
tanθ=2の値から新たなθの範囲が出現します。
そこで、与えられたθの範囲から一概に考えてはいけないんだなと認識しました。
sinθ+cosθの値から新たな条件が発生してもしかしたらこれが答えじゃないのかもと不安になってきました。
なぜ、1/8が答えだといえるんでしょうか？？
いちいち、、与えられた条件式からも範囲が狭まるんじゃないかと考えないといけないんでしょうか？？

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

＞三角関数の合成って何ですか？？
えっと、いま何年生でしたっけ？
もしかして、まだ習ってなかったのかもしれないですね・・・＾＾；

「三角関数の合成」
a* cosθ+ b* sinθ＝ √(a^2+ b^2)* sin(θ+α)
ただし、αは sinα＝ a/√(a^2+ b^2)、cosα＝ b/√(a^2+ b^2)を満たす

という和をまとめることができるものです。
検索してもでてくるとは思います。

もともとの質問であった考え方の枠組みという意味では、
sinθ+ cosθ＝ √3/2という式からθは絞り込まれる。
という考え方は正しいということになります。
ただ、上のような変形が必要なので、ちょっとやっかいですね。

回答No.3

kabaokaba

例：
x>0のとき，x^2=1の解を求めよ
解答例：
x^2=1より，x=1,-1
今，x>0とされているから，x=1
質問
x>0という範囲は広く条件としてとられていますよね？？
x^2=1の値から新たなxの範囲が出現します。
そこで、与えられたxの範囲から一概に考えてはいけないんだなと認識しました。
（略）
いちいち、、与えられた条件式からも範囲が狭まるんじゃないかと考えないといけないんでしょうか？？

問題を置き換えるとこういう質問と同義だというのは理解できますか？
与えられた範囲から一概に考えないで何から考えるのですが？
与えられた範囲外のものを答えたらそれは誤りです．

さて。。。当然与えられた条件式から範囲が狭まるので
答えがでてくるにきまっています．
例でいけば，x>0という条件があるので
答えはx>0を満たさなければいけない．
さらに，x^2=1という条件も満たさなければいけないので
当然「範囲」はx>0よりも小さくなる，実際は
「x>0」かつ「x^2=1，つまりx=1,-1」であって
範囲は当然せばまって，答えは x=1 となる．

数学の問題を解くってのは
与えられた条件が示す範囲を，突き詰めていって
できるだけ簡単な範囲に狭めることにほかなりません．

だから
「いちいち、、与えられた条件式からも範囲が狭まるんじゃないかと考え」ることが
解を求めるということ，問題を解くということです．

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞sinθ+cosθ=√3/2から新たな条件が発生していないんでしょうか？？？
このままの形では条件があったとしてもわかりずらいですよね。＾＾；

たとえば、三角関数の合成をしてみると、
√2* sin(θ+ π/4)＝ √3/2
sin(θ+ π/4)＝ √(3/2)

となるので、角度：θ+ π/4は 0＜ θ+ π/4＜ π
よって、-π/4＜ θ＜ 3π/4（または、0≦ θ＜ 3π/4、7π/4＜ θ＜ 2π）
もとの条件と組み合わせると、π/2＜ θ＜ 3π/4と絞り込まれていますね。

いまの場合、たまたま合成した角度の部分が考えやすかったので、このようにはっきりとした範囲が出てきています。

問題の内容によっては（角度の大きさ自身や不等式を扱うような問題では）、
ここまで絞り込んでいかないといけないこともあると思います。
2008年九州大学理系の円の問題なんかは、角度を絞り込んでいかないといけない問題ですね。

補足

すいません。大変、お恥ずかしいんですが三角関数の合成って何ですか？？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

三角比の問題は「範囲」が結構ポイントになりますね。
少し考えすぎてるのかなあ・・・という気もしたのですが。＾＾；

★π<θ<2πでtanθ＝２のときcosθは？？
「π<θ<2π,tanθ>0よりπ<θ<3π/2」の部分ですが、ここには
・そもそも条件として与えられている π＜ θ＜ 2π
・tanθ＞ 0となる θは、この角が第 1象限 or 第 3象限にある

これら 2つの条件を合わせた結果として得られているものです。
逆に、tanθ＞ 0だけでは cosθ＝ 1/√5も答えになりますね。

★sinθ+cosθ=√3/2(π/2<θ<π）のとき、sinθ・cosθ？
まず答えは 1/8ではなくて、-1/8ですね。

この間違いに気づいたのは、まさしく与えられているθの範囲からです。
π/2＜ θ＜ πならば、sinθ＞ 0、cosθ＜ 0ですね。
ということは、sinθ・cosθ＜ 0とならなければなりません。

逆に、いまの問題でもし sinθ・cosθの計算結果が正となるようであれば、
それを満たす π/2＜ θ＜ πなる θは存在しないということになります。

出てきた答えに対して、その値を与える θが存在するかどうか。題意（条件）を満たしているかどうか。
これを考えておくことは大事なことですね。＾＾

補足

sinθ+cosθ=√3/2から新たな条件が発生していないんでしょうか？？？