- ベストアンサー
三角関数の問題・・・
θの方程式で、 cos2θ+2sinθ+2a-1=0 (aは実数の定数)・・・(*) についての問題で (*)をみたすθが存在するようなaの値の範囲を求めよ。 とあるんですが、 二倍角使って a=1/2(-cos2θ-2sinθ+1) =1/2{-(1-2sin^2θ)-2sinθ+1} =sin^2θ-sinθ となってsinθ=tとおいて a=t^2-t とするところまではわかるのですが、この後わからなくて答えを見たところ答えが -1/4≦a≦2 となってました。どうしてこうなるのか教えてくださいm(__)m
- kosiba100
- お礼率27% (21/76)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは。 a = t^2 - t = (t^2 - t + 1/4) - 1/4 = (t - 1/2)^2 - 1/4 (1/2, -1/4)を頂点(極小値)とする二次関数となりました。 ですから、aの下限は、1/4 です。 また、 -1≦t≦1 ですが、 幸いなことに、t=1/2 は、その範囲に入っています。 ですから、 t^2 - t にt=-1 を代入したもの と t^2 - t にt=1 を代入したもの のうち大きいほうが、aの最大値となります。 ご参考になりましたら幸いです。
その他の回答 (1)
- haragyatei
- ベストアンサー率17% (25/146)
tはsinなので-1<t<1で存在します。 だから a=(t-1/2)^2-1/4 の2次関数の-1<t<1における最大最小問題になります。
関連するQ&A
- 三角関数
aを実数とする。 θ に関する方程式 2cos 2θ + 2cos θ + a = 0 について ( 1 ) t = cos θ として、この方程式を t と a で表せ。 ( 2 ) この方程式が解 θ を、 0 ≦ θ < 2 π の範囲で4つもつための、aのとり得る値の範囲を求めよ。 ( 1 ) 2 cos 2θ + 2cos θ + a = 0 4 cos^2 θ + 2 cos θ + a - 2 = 0 t = cos θ とおいて 4t^2 + 2t + a - 2 = 0 ( 2 ) ( 1 ) より a = - 4t^2 - 2t + 2 として、y = - 4t^2 - 2t + 2 と y = a の共有点が | t | < 1 に2つ ( 異なる ) 存在するような a を求めればよい。 ・・・・・・・★ y = - 4t^2 - 2t + 2 = - 4 ( t + 1/4 )^2 + 9/4 よって、求める a は 0 < a < 9/4 これの ( 2 ) の 「 この方程式が解 θ を、 0 ≦ θ < 2 π の範囲で4つもつための、aのとり得る値の範囲 」を求めるのに、 ★の 「 y = a の共有点が | t | < 1 に2つ ( 異なる ) 存在するような a を求めればよい。」になるのでしょうか? なぜ4つ求めるのに 2つでいいんですか?教えてください。 問題文が 2 cos 2 θ だからですか。。。?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題がさっぱり・・・
(問) θについての方程式 sin3θ=cos2θ (0≦θ<2π) において、これを満たすθを値が大きい順にθ1,θ2,θ3とする。 このとき、sin(θ1+θ2+θ3)の値を求めよ ・・・という問題なのですが、3倍角・2倍角の公式でsinθ=1,(-1±√5)/4、とまではできたのですが、 sinθ=(-1±√5)/4のときのcosθの正負の判定ができず、二重根号も外せないで行き詰っています。 θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。 仮にsinθ2=1,sinθ3=(-1+√5)/4とすると、(逆もあり) sin(θ1+θ2+θ3) =sin{θ2+(θ1+θ3)} =(中略) =cosθ1cosθ3-sinθ1sinθ3 で、cosθが求められずにここで終わりました。 cosθ1,cosθ3の値は求めなくても解けるのでしょうか? どなたかこの問題が分かる方、ヒントをください!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数について
kは定数とする。θの方程式 2(√3sinθ-cosθ)+(√3sin2θ+cos2θ)=k(0≦θ≦π) について次の問いに答えよ。 (1)t=√3sinθ-cosθとおくとき、tをrsin(θ+α)の形(r>0、-π<α≦π)に変形せよ。また、tの取りうる値の範囲を求めよ。 (2)(1)のtについてt^2を計算して、 √3sin2θ+cos2θをtの式で表せ。 (3)θの方程式 2(√3sinθ-cosθ)+(√3sin2θ+cos2θ)=k(0≦θ≦π)の解の個数を分類しなさい。 この問題で (1) t=2sin(θ+2/3π) -1≦t≦2 (2)√3sin2θ+cos2θ=-t^2+2 と答えがでて、 (3)y=kとy=-t^2+2t+2が共有点について調べればよい。までわかったんですが、そこからθの個数について分類するまでが分かりません。 解答は k<-1,3<kのとき解θは0個 -1≦k<2のとき解θは1個 k=2,3のとき解θは2個 2<k<3のとき解θは3個 となっていますが、0個の分類はわかるんですが、1~3個までの分類の仕方が分からないので教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題
aは実数の定数、0≦θ≦2πの範囲において、 cos2θ-4(a+1)cosθ-4a-1=0 を満たす異なるθの個数を求めよ。 という問題で、 cos^2θ-2(a+1)cosθ-2a-1=0 t=cosθとおく t^2-2(a+1)t-2a-1=0 判別式は d/4=(a+2)^2-2 グラフを図示する (1)-2-√2<a<-2+√2 ではtは解なし (2)a=-2-√2,-2+√2 でtはそれぞれ1つずつ解を持つ (3)a<-2-√2,-2+√2<a でtはそれぞれ2つずつ解を持つ ここまでは分かるのですが、-1≦t≦1の処理とtの値に応じたθの 個数の求め方などが良く分かりません。 分かる方お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角比の2次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教え
三角比の2次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教えて下さい。 30°≦Θ≦180°とする。sin^2Θ+cosΘ-a=0・・・? について、 (1) ?が解をもつための定数aの値の範囲を求めよ。 (2) ?が異なる2個の解をもつための定数aの値の範囲を求めよ。 なのですが、 (1)はsin^2を(1-cos^2)にして、aを移行して、 -1≦a≦5/4 になるのはわかったのですが、 (2)の求め方が解説を読んでも理解できません(汗 答えは1/4+√3/2≦a<5/4 になるそうです。 どういう風に解けばよいのかがわかりません。 教えて下さい!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2次関数、三角比の問題を教えてください。
わからないことがあります。(^2は二乗) 【1】mx^2+(1-5m)x+4m=0の2つの実数解が1より大であるような定数mの範囲を求めよ。 という問題で、解答が まず、実数条件からm≦1/9、1≦m ・・・(1) 次に、実数解をα、βとすると、 α>1、β>1⇔α-1>0、β-1>0 ∴(α-1)+(β-1)>0、(α-1)(β-1)>0 解と係数の関係を用いて変形すると (α-1)+(β-1)=(3m-1)/m>0(両辺にm^2をかけて計算するんだよ!)∴m<0、1/3<m ・・・(2) (以下略) とあるのですが、私はmをかけて計算したので、(2)の部分では1/3<mしか出ませんでしたが、結局その後の計算でm<0も出たので答えは合いました。なのでmでも良いのかと思ったのですが、似たような他の問題を解いたら二乗をかけないと答えが間違ってしまう問題がありました。、「両辺にm^2をかけて計算するんだよ!」と書いてある場所にはなぜmではなくてmの二乗をかけないといけないのでしょうか? 【2】(cosθ+sinθ)/(cosθ-sinθ)=√2-1のとき、tanθ、cos^2θの値を求めよ。 という問題で、解答が 与式から cosθ+sinθ=(√2-1)cosθ-(√2-1)sinθ ∴√2sinθ=(√2-2)cosθ ∴tanθ=√2(1-√2)/√2=1-√2 (以下略) と書いてあるのですが、√2sinθ=(√2-2)cosθからどのように計算してtanθ=√2(1-√2)/√2=1-√2になるのでしょうか?私はtanθ=sinθ/cosθを使ってやろうとしたのですが、よくわからなくて答えを見たのですが答えを見てもいまいち理解出来ません。tanθ=sinθ/cosθを使っているのだと思うのですが、sinθの係数が分母に、cosθの係数が分子になっているのはなぜでしょうか? どちらか一方でも良いのでどなたかお願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題です。
三角関数の問題です。 2次方程式 5x^2-7x+k=0 の2つの解が、sinΘ、cosΘであるとき、 定数k の値と sin^3Θ+cos^3Θの値を求めよ。 です。 「sinΘ+cosΘ=7/5」 「sinΘcosΘ=k/5」 を使って計算するらしいのですが、 この2つの式はどうやって求めたのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
御丁寧にありがとうございました。 良く解りました!