三角関数の問題がさっぱり・・・
- 三角関数の問題について大きな角の値から順に解を求める方法を知りたいです。
- sinθ=(-1±√5)/4のときのcosθの正負の判定ができないので解けません。
- cosθ1,cosθ3の値は求めなくても解けるのでしょうか?どなたかヒントを教えてください!
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三角関数の問題がさっぱり・・・
(問) θについての方程式 sin3θ=cos2θ (0≦θ<2π) において、これを満たすθを値が大きい順にθ1,θ2,θ3とする。 このとき、sin(θ1+θ2+θ3)の値を求めよ ・・・という問題なのですが、3倍角・2倍角の公式でsinθ=1,(-1±√5)/4、とまではできたのですが、 sinθ=(-1±√5)/4のときのcosθの正負の判定ができず、二重根号も外せないで行き詰っています。 θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。 仮にsinθ2=1,sinθ3=(-1+√5)/4とすると、(逆もあり) sin(θ1+θ2+θ3) =sin{θ2+(θ1+θ3)} =(中略) =cosθ1cosθ3-sinθ1sinθ3 で、cosθが求められずにここで終わりました。 cosθ1,cosθ3の値は求めなくても解けるのでしょうか? どなたかこの問題が分かる方、ヒントをください!!
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まず以下の点についてお答えします。 ・・・という問題なのですが、3倍角・2倍角の公式でsinθ=1,(-1±√5)/4、とまではできたのですが、 sinθ=(-1±√5)/4のときのcosθの正負の判定ができず、二重根号も外せないで行き詰っています。 θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。 sinθの値は正しいです。 でも問題をよく読んでくださいね。 解となるθの値が3つしかないとは誰も言っていません。 今回の変域(0≦θ<2π)においては cosθが正負どちらの値もとりうるので 全部で解となるθは5つあります。 さて ここで落ち着いて 単位円に 条件を満たすθの値を作図してみてください。(いい加減でもいいので すると sinθ=(-1±√5)/4となる値は4つ取れるはずです。(それぞれ第一象限・第二象限・第三象限・第四象限にひとつずつあるはずです。) ここで第四象限に点を取るθがθ1 第三象限のものがθ2 第二象限のものがθ3 となります 第一象限のものをθ4としてやると θ4を用いて 第二象限のものは θ3=π-θ4 と書けますし 第三象限のものを θ2=π+αとすると 第四象限のものは θ1=2π-αとなります。 さて θ1+θ2+θ3=4π-θ4 になったはずです。 これなら分かると思います。 ちなみに蛇足ですが θ4=18°だったと思います。
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- f272
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もう一度気を取り直して... sinθ=1,(-1±√5)/4から,これを満たすθ(0≦θ<2π)は5つあって,値が大きい順にθ1,θ2,θ3とすれば θ1+θ2=3π,sinθ3=(-1+√5)/4 が分かる。
- nag0720
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y=sin3xとy=cos2xのグラフを描くと分かりますが、 この2つの曲線は、0≦x<2πの範囲では5箇所の交点を持ちます。 その中で大きい順に、 5/3π<θ1<7/4π 5/4π<θ2<4/3π 5/6π<θ3<π の範囲にあり、 sinθ1=(-1-√5)/4 sinθ2=(-1-√5)/4 sinθ3=(-1+√5)/4 です。 (sinθ=1となるθは4番目ですので対象外です) さらに、 θ1+θ2=3π が成立するので、 sin(θ1+θ2+θ3)=sin(3π+θ3)=-sinθ3=(√5-1)/4
- f272
- ベストアンサー率46% (8026/17154)
#1です。 上の回答はちょっとか違ってるね。0≦θ<πと勘違いした。
- f272
- ベストアンサー率46% (8026/17154)
> θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。 これは間違い。0≦θ<2πなのだからsinθ=(-1-√5)/4<0にはなりません。 sinθ=1または(-1+√5)/4 となってこれを満たすθを考えると sinθ2=1 sinθ1=sinθ3=(-1+√5)/4 で,かつ cosθ1=-cosθ3 という関係にあることも分かります。
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