関数の問題です。

質問

aは定数とする。
　f（θ）＝a（√3sinθ-cosθ）－（√3sin2θ+cos2θ）＋a＋1
　ただし、0≦θ≦πとする。

（１）t＝√3sinθ－cosθとおくとき、f（θ）は次のように表されることを示せ。
　　　　　f（θ）＝t二乗+at+a-1

（２）方程式f（θ）＝０が相異なる3つの実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(1)t＝√3sinθ－cosθ
t^2=3sin^2θ+cos^2θ-2√3sinθcosθ
=1+2sin^2θ-2√3sinθcosθ
(sin^2θ+cos^2θ=1)
倍角公式より
sin(2θ)=2sinθcosθ
cos(2θ)=1-2sin^2θ
2sin^2θ=1-cos(2θ)
t^2=2-(√3sin2θ+cos2θ）
√3sin2θ+cos2θ=2-t^2

f(θ)=at-(2-t^2)+a+1=t^2+at+a-1

(2)f(θ)=t^2+at+a-1=(t+1)(t+a-1)=0
のとき
t=-1 または　t=1-a
t＝√3sinθ－cosθ=2(√3sinθ/2－cosθ/2)=2(sinθcos(π/6)-cosθsin(π/6))=2sin(θ-π/6)
t=2sin(θ-π/6)
のグラフを描くと0≦θ≦πの範囲で
θ=0のときt=-1
θ=π/6のときt=0
θ=π/3のときt=1
θ=2π/3のときt=2
θ=πのときt=1

t=-1 はθ=0のとき満たされる。
1≦t=1-a≦2
のとき2根を有する。よって
-1≦a≦0
のときf（θ）＝０は異なる3根を有する。

お礼

ご丁寧に計算式まで、どうもありがとうございました！助かりました。

回答No.1

alice_44

(1)
t を θ で表す式を、f(θ) を t で表す式へ代入して、
もとの f(θ) と同じになることを確認する。さあ、計算。

(2)
３個の θ が何個の t に対応するか、まず考える。