高校 数学 至急！

質問

f(θ)=-sin二乗θ-cosθ+a+2　(0<=θ<2π)において。ただしaは定数。

（１）t=cosθとするとき、f(θ)をtを用いて表せ。　また、tの値の範囲を求めよ。

（２）a=-１のときf（θ）=０を解け。

（３）方程式f（θ）=０を満たす解が２つ存在するとき、定数aの値の範囲は？

全くわかりません！至急お願いします！

回答No.1

atkh404185

(1)　f(θ)=-sin^2θ-cosθ+a+2　(0<=θ<2π)　（←sin^2θは質問者様のsin二乗θのことです。

以下、同じです。）

=-(1-cos^2θ)-cosθ+a+2

=-1+cos^2θ-cosθ+a+2

=cos^2-cosθ+a+1

t=cosθとするとき、

f(θ)=t^2-t+a+1・・・・・・（答）

また、tのとりうる値の範囲は

0<=θ<2πより

-1<=t<=1・・・・・・（答）

(1)　問題は、f(θ)を　t　を用いて表せ。

だから、

f(θ)を　cosθ　で表せばよいことになります。

つまり、sinθ　を　cosθ　に変えればよいことになります。

ということは、

sinθ　と　cosθ　の関係式

　　　sin^2θ+cos^2θ=1

を使えばよく、これを式変形した

　　　sin^2θ=1-cos^2θ

を最初の式に代入して、式変形していくと、

f(θ)がcosθで表すことができます。

次に、tのとりうる値の範囲ですが、

これは、t=cosθ　(0<=θ<2π)のグラフを描いて

tの値の範囲を求めます。（単位円からでも求めることができます。）

(2)　a=-1　のとき

f(θ)=t^2-t-1+1=t^2-t

だから

f(θ)=0に代入して

t^2-t=0

t(t-1)=0

t=0,　1

(i)　t=0　のとき　cosθ=0　0<=θ<2πより　θ=π/2,　3π/2

(ii)　t=1　のとき　cosθ=1　0<=θ<2πより　θ=0

(i)，(ii)より　θ=0,　π/2,　3π/2

(2)　a=-1　をf(θ)に代入してf(θ)の式を作ります。

f(θ)=0　に代入すると、tの2次方程式になり、因数分解してtの値を求めます。

求めたtの値を　t=cosθ　にそれぞれ代入して 0<=θ<2π　を満たすθが求める答えになります。

(3)　f(θ)=0　より

t^2-t+a+1=0

これより

-t^2+t-1=a

ここで、

y=-t^2+t-1　(-1<=t<=1)

=-(t^2-t)-1

=-{(t-1/2)^2-1/4}-1

=-(t-1/2)^2+1/4-1

=-(t-1/2)^2-3/4

と　y=a　の共有点の個数は

a<-3　のとき　0個

-3<=a<-1　のとき　1個

-1<=a<-3/4　のとき　2個

a=-3/4　のとき　1個

-3/4<a　のとき　0個

である。また、0<=θ<2π　のときtの１つの値に対してθの値は2個ずつ存在する。ただし、

t=-1,　1　のときはそれぞれ1個ずつ存在する。

したがって、f(θ)=0　を満たす解の個数は

a<-3　のとき　0個

a=-3　のとき　1個

-3<a<-1　のとき　2個

a=-1　のとき　3個

-1<a<-3/4　のとき　4個

a=-3/4　のとき　2個

-3/4<a　のとき　0個

したがって、f(θ)=0　を満たす解の個数が2個存在するaの値の範囲は

-3<a<-1,　a=-3/4・・・・・・（答）

　　（グラフが描けないのですべての場合について書きました。）

(3)　方程式f(θ)=0の解の個数

を

-t^2+t-1=a

と式変形することによって

放物線　y=-t^2+t-1　(-1<=t<=1)　（←　頂点(1/2,　-3/4)，左端点(-1,　-3)，右端点(1,　1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 の放物線の一部分）

と

直線 y=a　（t軸（横軸）に平行な直線）

の共有点の個数に置き換えて考えることができます。

（t=cosθ　(0<=θ<2π) のグラフから、）

共有点1個（１つのtの値）につき　θの値は2個あるのですが（←　(2)の(i)）

t=-1,　1 については　θの値は1個になります。（←　(2)の(ii)）

このことに注意して問題を解いて下さい。

お礼

ありがとうございます！文字が多く打つのに苦労したんではないでしょうか！？
細かく説明して下さりほんとにありがとうございます!!