数学Ⅱについて

質問

関数f(x)=sinxcosx＋√3/2cos2x＋1/2がある。

(1)f(0)、f(π/2)の値を求めよ。

(2)f(x)をrsin(2x＋α)＋p(ただしr＞0、0＜α＜π/2、r,α,pはすべて定数)の形で表せ。

(3)0＜x＜π/2において、xの方程式f(x)=a(aは定数)が解を１つだけ持つとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。また、そのときの解xのとりうる値の範囲を求めよ。

基本の形だと言われ教科書を参考にしたのですが、正直よく分かりません。
教えていただけると助かります。

回答No.2

bibendumbibendum

（1）、（３）はNo,1さんの回答で十分ですね。
（２）について
sinxcosx＝1/2sin2xです。
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβの公式にα＝β＝xをいれると出てきます。
f(x)＝1/2sin2x＋√3/2cos2x＋1/2になります。

Asinx＋BcosXをまとめる公式です。
=√（A＾2＋B＾2）＊（A/√（A＾2＋B＾2）sinx＋B/√（A＾2＋B＾2）cosX）
A/√（A＾2＋B＾2）＝cosθ
B/√（A＾2＋B＾2）＝sinθ
となるθがかならず存在するので、sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβから
Asinx＋BcosX＝√（A＾2＋B＾2）sin（x＋θ）
になります。

回答No.1

rnakamra

(1)xに代入するだけ。別に式を変形する必要もありません。

(2)f(x)の定義の式から変形して求めるのがよいのですが、もしできなければ
rsin(2x+α)+pを加法定理で展開するのも一つの手でしょう。
もう一つの手としては、f(0),f(π/2)の値と後一つ適当なxの値の時のf(x)の値を比較してr,α,pの連立方程式を導いてしまうという手もあります。

(3)y=f(x)のグラフを書いてみるのがよいでしょう。
f(x)=rsin(2x+α)+p=rsin(2(x+α/2))+p
ですから、これは、y=sin(x)のグラフを次のように変形したものになります。
y軸方向にr倍拡大,x軸方向に1/2に圧縮,x軸の正の方向に-α/2平行移動,y軸の正方向にp平行移動
まずはこのグラフを書いてみてからそれとx軸と平行は直線の交点の数を考えてください。