高校1年の数学問題

質問

教えてください。
(1)男子４人、女子３人が横１列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ場合は何通りあるか？

(2)１個のサイコロを５回投げたとき、２以下の目が３回出る確率を求めよ。

(3)180度≦θ≦270度、cosθ＝－3/4のとき、sinθの値を求めよ。

(4)△ＡＢＣにおいて、a＝√3、b＝√7、Ｃ＝150度のとき、ｃの値を求めよ。

(5)2次方程式2x2-4ｘ+ｋ-1＝0　（2エックスの二乗－4エックス＋ｋ－1＝0）が解を持たないように、定数ｋの値の範囲を定めよ。

この問題を教えてください。よかったら、解き方とか細かく教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.4

ume-kichi · ベストアンサー

(1)交互に並ぶ並び方は『男１女１男２女２男３女３男４』しかないですよね。
だから『男』の並び方は　４！＝４×３×２×１　　　　　　　　　　　　　　 　（↑男１の可能性は４通り、男２の並び方は男１で並んだ人を除いて３通り、男３の並び方は男１、男２で並んだ人を除いて２通り、男の並び方は残りの人だから１通り。これらは同時に起こらなければいけないから、積の法則を使う。）
同様にして『女』の並び方は　３！＝３×２×１　
以上より交互に並ぶ並び方は、同時に起こるから積の法則を使い　
４！×３！＝１４４　（通り）　となります。

(2)２以下が出る確率は１/３、それ以外が出る確率は２/３ですよね。
これをふまえて、考えることにしましょう。
○○○○○の５回投げて、２以下が３回出る組み合わせは、５個の場所から３個　 ○をとってくる組み合わせなので、５Ｃ３（コンビネーションのつもりです…）　 より１０通りあるので、
５Ｃ３×(１/３)^３×(２/３)^２＝４０/２４３　だと思います。

(3)【解法１】三角関数の相互関係『sin^2θ+cos^2θ=1』を使う。これは＃１の方の解答を参考にしてください。
　 【解法２】この方法は邪道で、『解き方を書く問題』には適さないのですが、　『解答のみ』の場合、以下の方法は有効ですよ。もしよければ、参考にしてみてください。
(ａ)θの範囲を無視して、直角三角形でsinθの値を考える。この場合、斜辺が４、底辺が３の直角三角形なので三平方の定理より高さは√７になります。
(ｂ)０度＜θ＜９０度ならば、sin、cos、tanは全て正の値をとる。
９０度＜θ＜１８０度ならば、sinは正の値、cos、tanは負の値をとる。
１８０度＜θ＜２７０度ならば、tanは正の値、sin、cosは負の値をとる。
２７０度＜θ＜３６０度ならば、cosは正の値、sin、tanは負の値をとる。
以上のことより、sinは負の値をとることがわかりますね。
よって、(1)、(2)を合わせてsinθ＝√７/４（４分の√７）になります。

(4)余弦定理の式に代入してしまえばおしまいの問題です。余弦定理はしっかり覚えておいたほうがいいですよ。＃１の方の解答を参考にして計算してみてくださ　　 い。

(5)この問題では判別式をとる方法が一般的（＃２の方の解法を考えてみてください）ですが、以下の方法でも解けるので、両方をマスターしておいた方が発展性　 があるので、是非できるようになってみてください。

ｋ＝－２x^２＋４x＋１　と変形できる。
これは　ｙ＝ｋ　　　　　　　　　 …(1)
　　　　ｙ＝－２x^２＋４x＋１　　…(2)
の２つのグラフの交点と見ることもできます。つまり、(2)の２次関数の頂点のｙの座標よりも　ｙ＝ｋ　が上にあれば交点を持たない。つまり解なしの状態になるわけです。そこで、(2)を平方完成して頂点を求めることにしてみる。
(2)のｙ＝－２（x^２－２x＋１）＋３
　　　 ＝－２（x－１）^２＋３
よって頂点のｙ座標は３。(2)は上に凸のグラフなので、　ｙ＝ｋ　が３より大きければ交点を持たない事になります。（グラフを書いて確かめてみてね。）
よってｋ＞３となる。

以上です。もう一度教科書と向き合って覚えなければならないところはしっかり覚えて、そして考えてみてくださいね。

お礼

こんなに丁寧に教えてくれてありがとうございます。
そうですね、もう1回教科書復習します。ありがとうございました。

回答No.3

noname#24477

（１）だけ解答を書きます。
○△○△○△○
４人と３人が交互に並ぶにはこの並び方しか無いです。
ということは男女別々に並べて合流させればいいわけです。
男子の並び方　４！＝４・３・２・１＝２４
女子の並び方　３！＝３・２・１＝６
これを合流させるのは掛け算
２４・６＝１４４（通り）

お礼

ありがとうございます。解き方まで教えていただいて。助かりました。

回答No.2

wogota

教科書を見ながら理解することができると思います。

答えなどは書きません。
(3)と(5)の方針でも書いてみようと思います。

(3)
θが第3象限にありますので、
cosθ<0,sinθ<0がわかると思います。
また、sin^2θ+cos^2θ=1ということは知っていると思いますので、
cosθ=-3/4を代入して計算し、先の符号条件から求められます。

(5)
2x^2-4x+k-1=0の式についてはa=2,b=-4,c=k-1とすると、
ax^2+bx+c=0といった教科書で見慣れた式が出てきます。
この2次方程式で解が存在しない条件は
解の公式の一部を利用して、(b^2)-4ac＜0ということが
わかると思います。あとは、先に変換した値を代入して
その不等式を求めればいいことになります。

お礼

すいません。がんばってやってみます。

回答No.1

mmky

(1)男子４人、女子３人が横１列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ場合は何通りあるか？
男A、B、C、D、女E、F、G　と記号にすればわかるかな。
１回目男からAEBFCGD
女性を同じ位置にして男性だけで４通りあるよね。
やってみてね。

(2)１個のサイコロを５回投げたとき、２以下の目が３回出る確率を求めよ。
さいころは、６面体、どの面がでるのも確率は1/6　から考えます。

(3)180度≦θ≦270度、cosθ＝－3/4のとき、sinθの値を求めよ。
半径1の円は、cosθ＾2+sinθ＾2=1　
(－3/4)＾2+sinθ＾2=1
sinθ＾2=1-9/16=5/16
sinθ=±√5/4
180度≦θ≦270度　第3象限の場合は＋・－？

(4)△ＡＢＣにおいて、a＝√3、b＝√7、Ｃ＝150度のとき、ｃの値を求めよ。
余弦定理により
c＾2=a＾2+b＾2-2ab*cos150
cos150=cos(180-30)=-cos30
c＾2=a＾2+b＾2+ab*cos30
c=√（a＾2+b＾2+ab*cos30）
ということで計算します。

(5)2次方程式2x2-4ｘ+ｋ-1＝0　（2エックスの二乗－4エックス＋ｋ－1＝0）が解を持たないように、定数ｋの値の範囲を定めよ。
2次方程式の解は、
ｘ={-b±√(b＾2-4ac)}/2a
ｘ={4±√(16-8(k-1)}/4
x=1±√(1-(k-1)/2)
xが解を持たないという意味は?
？ということかな

やってみてください。
それからですね。

お礼

細かく教えいただきありがとうございます。がんんばってやってみます。
ほんとうにありがとうございました。