• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

高校数学の問題です。

以下の問題の(2)(3)について教えてください。 実数全体を定義域とする関数 f(x) = 2^3x -9・2^2x+1 +15・2^x+2 について、 次の問いに答えよ。 ※「2の3x乗」、「-9・2の2x+1乗」、「+15・2のx+2乗」 (1) 2^x = t とおく。関数 f(x) を t で表し、得られた t の関数を g(t) とおく。   関数 g(t) の増減と極値を調べ、 y = g(t) のグラフをかけ。   ただし、g(t) の定義域は、x が実数全体を動くときに t が動く範囲とする。   =>これはできました。 (2) 方程式 f(x) = k が異なる正の解2個と負の解1個をもつような実数の定数 k の値の範囲を求めよ。 (3) k が(2)で求めた範囲を動くとき、方程式 f(x) = k の3個の解の和のとり得る   値の範囲を求めよ。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

数式が読みにくくて、誤解しそうです。せめて f(x) = 2^(3x) -9・2^(2x+1) +15・2^(x+2)  (1) のように指数部分は( )かっこをつけるぐらいの工夫をしてください。 ※「2の3x乗」、「-9・2の2x+1乗」、「+15・2のx+2乗」 はかえって解りにくい。 (1)の解釈のもとに計算します。 (1) g(t)=t^3-18t^2+60t (t>0) g'(t)=3t^2-36t+20=3(t-2)(t-10) t>0でt=2のとき極大値56、t=10で極小値-200をとるグラフ、増減表を完備すること。 (2) これは(1)で書いたg(t)のグラフをf(x)に書き直すことが求められています。可能な限り正しく書いてください。 極小値、極大値は同じですがそれを与えるxの値はx=log(2)t (底を2とする対数) から各々1,log(2)10です。 x=0のときf(x)=43 x<0のときxの減少とともに0に漸近することがわかりますか。 以上ができれば、 方程式 f(x) = k が異なる正の解2個と負の解1個をもつような実数の定数 kの値の範囲は 0<k<43です。 (3)これは考えた問題ですね。 3次方程式 y=ax^3+bx^2+cx+d=0 の3根の和は-b/aですが y=a(2^x)^3+b(2^x)^2+c(2^x)+d=0 の場合は3根をα、β、γとすると 2^α+2^β+2^γ=-b/a となり趣旨が違います。 3根の積が 2^α*2^β*2^γ=2^(α+β+γ)となるのでこれを用います。 f(x)=k より (2^x)^3-18(2^x)^2+60(2^x)-k=0 2^(α+β+γ)=k α+β+γ=log(2)k (2)の結果より α+β+γ≦log(2)43

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかりづらい数式の記載にも関わらず、 とても詳しく解説していただきどうもありがとうございます。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

こんにちわ。 こっちはもうちょっとややこしいですね。^^ 何がややこしいかというと、f(x)と g(t)という 2つの関数と それを用いた方程式が出てくることです。 ただ、2^x= tより x= log[2](t) (底を 2とする対数)として表されることからも xと tは 1対1の対応をしています。 このことを頭に入れておいて・・・ (2) 単に方程式:g(t)= kの解を考えることになります。 ただし、xが負であることは tが「〇より△△△こと」であり、 xが正であることは tが「〇より◇◇◇こと」であることに注意です。 (3) 方程式:f(x)= kの解が x= a, b, cであったとすると、 a= log[2](α), b= log[2](β), c= log[2](γ) と表されることになります。 ここで、α, β, γは方程式:g(t)= kの解を表しています。 いま最終的に考えなければならないのは、a+ b+ cのとりうる値の範囲です。 a+ b+ c= log[2](αβγ) αβγは方程式:g(t)= kの解と係数の関係から、kを用いて表すことができます。 あとは、(2)で求めた範囲で a+ b+ cがどうなるかを調べます。 ゴールが何かを見極められれば、そんなに難しくはない問題です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

先ほどの問題に引き続き、ご回答いただきどうもありがとうございます。 教えていただいたヒントで解くことができました!!

関連するQ&A

  • 高校数学の方程式の問題

    xの方程式 x^4+ax^2+4=0 が相異なる4つの実数解をもつとき、実数aの値の範囲を求めよ. (模範解答) x^4+ax^2+4=0 …(1) t=x^2 とおくと (1) ⇔ t^2+at+4=0 …(2) tが t<0, t=0, t>0 のときの相異なる実数xの個数は、それぞれ 0, 1, 2 個であるから、 ”(1)が相異なる4実数解をもつ” ⇔”(2)が相異なる正の2実数解をもつ” ⇔((2)の判別式)>0 かつ ...... ...... と続くのですが、 問題文に「相異なる4つの実数解をもつ」とあるので、「t=x^2 とおくと」の所で t≧0 という条件を言わなくていいのですか(∵実数の二乗は0以上)?? のちに、t>0 という条件が示されるから、必要ないのですか? あるいは、「相異なる4つの実数解をもつ」は文字置き換え(x→t)のときの条件変換には含まれないのですか?

  • 数学の問題の解き方がわからないので教えて下さい。

    方程式X2(2乗)-kX+k-3=0は負ではない2つの異なる実数の解をもつという。 ここで、kは定数とする。 (1)この方程式の1つの解が他の解より3だけ大きいとき、kの値を求めよ。 (2)(1)で得られたkの値に対し、この方程式の2つの解を求めよ。 よろしくお願いします。

  • 高校数学です (T_T)

    kを実数の定数とする。 xの2次方程式 (1+i)x~2 +(k+i)x + 3+3ki = 0 が 実数解をもつとき、 kの値とそのときの実数解を 求めよ 。 ヒントとして 実数解をaとおく と ありますが 分かりません 分かる方 教えて下さい (T_T)

  • 二次関数の問題

    -3≦x≦2で定義されたxについての関数 f(x)=(x^2+2x)^2-2a(x^2+2x)+3a-2がある 方程式f(x)=0が異なる4つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求めよ この問題でt=x^2+2xとおいて、図を描くと-1≦t≦8ということがわかりました つまり、f(x)=t^2-2at+3a-2が-1≦t≦8の範囲で二つの異なる実数解をもてばいいとおもったのですが 答えがどうしても回答とあいませんでした・・・ この考え方はまちがっているのでしょうか?

  • 高校数学の問題です。

    aを定数とし、F(x)=x^2-ax+a^2/2-2a+3とする。 二次方程式F(x)=0は実数解α、β(ただし、α≦β)をもつものとする。 このとき、aの範囲は 2≦a≦6 ではり、F(0)のとり得る値の範囲は 1≦F(0)≦9 である。 (1)二次方程式 F(x)=0が1以下の正の解をもつとき、aの値の範囲は 【ア】≦a≦【イ】 である。 (2)二次方程式F(x)=0が2以下の正の解を少なくとも1つもつとき、aの値の範囲は 【ウ】≦a≦【エ】+√【オ】 である。 この問題の答えは分かっています。 【ア】2【イ】4 【ウ】2【エ】4【オ】2 です。 ですが、この答えを導く途中式が分かりません。どのような考えでこの答えが出せるのでしょうか。 分かりましたら、回答お願いします。 そして、この問題は数学1の二次関数の分野でしょうか。 勉強したいので、それについても回答よろしくお願いしますm(__)m

  • 数学 判別式 問題

    (1)2次方程式3x^2+8x+k=0が異なる2つの実数解をもつように定数Kの値の範囲を求めよ。 (2)2次方程式4x^2ー7x+k=0が実数解をもたないように定数kの値の範囲を決めよ。 これらの式はまずどうやって解けばいいんでしょうか?

  • 数学の問題(関数)

    数学の問題でわからないのがあったので解き方を教えて下さい! 関数f(x)=(x+2)|x-6|がある 方程式f(x)-k=0が異なる3つの実数解をもつとき、定数kのとりうる値の範囲は、※※※である。このとき、3つの実数解をx1,x2,x3(x1<x2<x3)とするとx2-x1=x3-x2が成り立つのは、k=???のときである。 という問題です ※※※の部分と ???の部分を求めるためにどう解けばいいのでしょうか? ヒントでもいいので 何か教えて下さい!

  • 数学 判別式 問題

    (1)2次方程式3x^2+8x+k=0が異なる2つの実数解をもつように定数Kの値の範囲を求めよ。 (2)2次方程式4x^2ー7x+k=0が実数解をもたないように定数kの値の範囲を決めよ。 (1)(8)^2-12k>0 64>12k までは行ったのですが、ここからの計算がよく分からないのですが、教えてください。

  • 2次関数の問題が解けず、苦労しています。誰か教えてください。

    2次関数の問題が解けず、苦労しています。誰か教えてください。 2次方程式3x+2x+k=0が実数解を持つような定義kの値の範囲を求めなさい。

  • 高校数学の問題です。

    pを実数の定数として、2次方程式 x^2-px+p=0 ・・・(*) がある。 (1)(*)が異なる2つの実数解をもつとき、pのとり得る値の範囲を求めよ。 (2)(*)の2つの解をα、βとおくとき、 A=α^2-4α、B=β^2-4β とする。 (i)A+B、AB をそれぞれpを用いて表せ。 (ii)AB<0 となるようなpの値の範囲を求めよ。 (3)pの値が(1)で求めた範囲にあるとき、(*)の2つの実数解 α、βについて、4次方程式 (x^2-αx+α)(x^2-βx+β)=0 ・・・(**) を考える。 (**)の異なる実数解の個数をpの値によって分類して求めよ。 解説お願いします。