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高校の数学を教えてください。

方程式2x2+(a-1)x+(a+1)2=0について ※2xの2乗+(a-1)x+(a+1)の2乗=0です。 (2) 実数解をもつとき,その実数解のとりうる値の範囲を求めよ。 がわかりません。  実は,問題集に乗っていた問題なので解答があります。解答には,与式をaの2次方程式:a2+(x+2)a+2x2-x+1 とみて,aが実数解をもつため判別式D=(x+2)2-4(2x2-x+1)>=0の条件から 答:0<=x<=8/7(xは0以上8/7以下)としています。  xが実数解をもつという条件で考えるはずなのに,解答はaが実数解をもつ条件を考えています。さっぱりわかりません。おわかりになる方,ご教授願えませんでしょうか。よろしくお願いします。  ちなみに,(1)は, 「2つの整数解をもつように,定数aの値を定め,その解を求めよ。」です。

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No.1、2です。 >でも係数が実数であってもxの方程式の2つの解が実数であるとは限らないのではないでしょうか。  つまり,aが実数となる以上の厳しい条件(xの方程式の判別式0以上だと考えています)が必要だと思うのです。  そして一番こんがらがっているところは,xが実数解をもつための条件ではなく,xの実数解の範囲を聞かれているところです。 質問者様は既に必要なことを理解されているけれど、おっしゃるとおり、こんがらがっているだけのようですね。 「係数が実数であっても実数解とは限らない」というのは、そのとおり。 「xの2次方程式の判別式D>=0で実数解になる」というのもそのとおり。 問題を読み返してみましょう。 「実数解をもつとき,その実数解のとりうる値の範囲」と書いています。 この問題の解答者がすべきことは、「必ず」実数解を持つための「a」の範囲ではなく、「実数解を持つ場合の」「x」の範囲、だそうですよ。 つまり、実数解を持つとしたときにはaも実数であるとの必要から自ずとxの範囲が定まるけれども、かといって、aが実数というだけでxも実数解になるとは、問題文でも言っていないということです。 あくまで実数解の範囲が分かっただけです。 必ず実数解を持つ条件は、質問者様のおっしゃるとおり、xの2次方程式の判別式D>=0です。

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質問者からのお礼

何度もご回答いただきありがとうございます。  完全ではありませんが,頭の中がすっきりしかかってきました。後は,何とか自分で自分を納得させようと思います。  本当にありがとうございました。

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  • 回答No.3
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

方程式2x2+(a-1)x+(a+1)2=0について、その解をx=A,x=B とすると 解と係数の関係を使うと、A+B=-(a-1)/2,AB=(a+1)2/2となり、 実数解A,Bは、aの式で表されているので、aも実数でなければならないということではないでしょうか? >(1)は, 「2つの整数解をもつように,定数aの値を定め,その解を求めよ。」も おそらく解A,Bが整数となるように A+B=-(a-1)/2,AB=(a+1)2/2 に当ては まる整数aの値を見つけて、答えを出したのではないかと思います。 ( できれば答えを知りたいです。)

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質問者からのお礼

 回答いただきありがとうございました。  (1)の答は,判別式の条件:aはおよそ-2.1~-0.5の間の数ということで,a=-1で,解はx=0,1です。  No.2さんのところにも書きましたが,xが実数解を持つ条件ではなく,実数解の範囲を問われているところがさっぱり分からないのです。自分の数学的センスのなさに落ち込んでいます。  もし,何かよいご説明がありましたら,お願いします。ありがとうございました。

  • 回答No.2

No.1です。 No.1で一部、不適切な表現をしてしまったので、修正いたします。 まず、「a-1やa+1」と書いているところは、「a-1や(a+1)^2」に改めます。 次に、「問題のxの方程式の解が実数となるためには、」を「問題のxの方程式の2つの解が実数となるためには、」に改めます。 係数がxの2次方程式において、1次の項と定数項が複素数であっても、実数解を1つ持つケースがあります。 ただしその場合、もう一つの解は複素数となります。 そのことは、2次方程式の「解と係数の関係」(α+β、αβ)から明らかです。 従って、2次方程式が実数解「のみ」を持つ場合は、係数も実数である必要があります。

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質問者からのお礼

丁寧なご説明ありがとうございます。 「xの方程式の2つの解が実数である」⇒「係数(a)が実数である」はわかりました。 でも係数が実数であってもxの方程式の2つの解が実数であるとは限らないのではないでしょうか。つまり,aが実数となる以上の厳しい条件(xの方程式の判別式0以上だと考えています)が必要だと思うのです。  そして一番こんがらがっているところは,xが実数解をもつための条件ではなく,xの実数解の範囲を聞かれているところです。 わかっていらっしゃる人には,「そんなの当たり前」と言われそうなのですが,全然すっきりしないのです。 愚痴っぽくなって失礼しました。回答にはとても感謝いたします。 「係数が複素数であっても,実数解も持つことがある」なんてことも忘れていました。ありがとうございました。

  • 回答No.1

問題のxの方程式の解が実数となるためには、a-1やa+1も実数である必要があります。 すなわち、aも実数である必要があります。 a-1やa+1が複素数だとしたら、方程式を満たすxがどうなるかを具体的に考えれば分かります。 例えばa=iだったりしたら、xにiを含む数(複素数)を代入しないと等式を満たしません。 解答に載っている式変形をして、問題の式がaの方程式であると考えた場合、判別式はxを含むこととなります。 だからxが実数解である際のxの範囲が求まります。 式変形はせず、問題の式がxの方程式であると考えた場合、判別式はaを含むこととなります。 だからxが実数解である際のaの範囲が求まります。

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