高校数学です

質問

質問です。
次の方程式を解いてください。
√10-x^2=x+2
＜ポイント＞
グラフを用いない無理方程式
２条して√をはずす
方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊
√をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する

解説・解法
方程式の両辺を二乗して　10-x^2=(x+2)^2
整理して　(x-1)(x+3)＝０　よってｘ＝１,-3
X=-3は与えられた方程式を満たさないから　ｘ＝１

こういうことが問題集(黄チャート数３基本例題８)に書いてあるんですが
＊ の行に書いてあることが成り立つなら
＝で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが
必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって

たとえば

sinθ＋cosθ＝１／２
（sinθ＋cosθ）＾２＝１／４　　　sin^2θ＋cos^2θ＝１より
１＋２sinθcosθ＝１／４
sinθcosθ＝-3/8
この答えも両辺を２乗して出した答えだから
正しいとは限らないことになると思うんですが
僕の解釈はどこが間違ってるんですか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

「Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない」
のうちの
「Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つ」
だけを使ってるよね。

回答No.3

htms42

＞＞方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊
＞＞√をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する

＞「＊ の行に書いてあることが成り立つなら
＝で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが
必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって 」

何か勘違いされていますね。
「両辺二乗して出した答えが必ずしも元の式の答えであるとは限らない」というのは
「２つ答えが出てきたら、その２つともが答えであるとはいえない」
ということです。その中に正しい解も含まれているのです。だから元の式に入れて当てはまるのはどちらであるかを確めているのです。得られた答えがどちらも元の式を満たしていないということはありません。
２乗するというのは符号の違いをなくすということです。

√(10-x^2)=x+2
－√(10-x^2)=x+2
はどちらも二乗すれば
10-x^2=(x+2)^2
になります。得られた２つの解が元のどちらの式の解であるかを確めればいいのです。

全部計算しなくても
ｘ＋２＞０ならば上の式の解、
ｘ＋２＜０であれば下の式の解です。

＞
　sinθ＋cosθ＝１／２ 　（１）
でも
　sinθ＋cosθ＝－１／２ （２）
でも
sinθcosθ＝-3/8 　　　（３）
が得られます。
（３）の解は（１）（２）の両方の解になっているのです。

sinθとcosθの符号は反対です。
０＜θ＜π
だとするとπ/2＜θ＜πです。
ここに ２組の解が（sinθ、cosθの組が２つ）存在します。片方が（１）の解です。他方が（２）の解です。

回答No.2

haragyatei

必要十分条件などをよく理解してください。

ｘ＝１、ｙ＝－１とすると
ｘ＝ｙではないが、ｘ＾２＝ｙ＾２
は成り立つ。つまり解は2乗したので符号が無視される。