三角方程式の問題

質問

cos^2x-2asinx+a=0 (aは定数）
が、0°≦x≦180°の範囲に２つ解をもつような定数aの範囲を求めよ

という問題で質問です。
cos^2x＝1-sin^2xであり、sinx=tと置いて、与式をt^2+2at-a-1=0に変形しました。
0°≦x≦180°から0≦sinx≦1であるため0≦t≦1の範囲にtが２つの解を持てばいいと考えました。
そこで、f(t)=t^2+2at-a-1として、

（ア）
f(t)=0のときの判別式をDとして、D≧0となるaの範囲を求める
解：aはすべての実数

（イ）
f(0)≧0となるaの範囲を求める
解：a≦-1

（ウ）
f(1)≧0となるaの範囲を求める
解：a≧0

と、以上(ア)(イ)(ウ)の３つからaの共通範囲を求めようとしたのですが、
私のやり方ではaは共通範囲を持たず、よって解なしとなりました。
解なしという回答が正しいのかどうか、ちょっと不安なのですが、これは正解でしょうか？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

「解なし」ということは、「aがどんな値であっても方程式の解がない」ことになりますね。
少なくとも、a＝ 0とすれば xは解として値が存在するので・・・

＞0≦t≦1の範囲にtが２つの解を持てばいいと考えました。
ここが「解なし」となってしまった元となっています。

あくまでも「方程式の解」は、式を満たす「xの値」のことです。
つまり、「tが 2つある」こととは違うのです。

たとえば、sin(x)＝ 1/2のとき、0°≦x≦180°の範囲で xの値はどうなりますか？
sin(x)＝ √3/2でもいいです。
と考えていくと、tがどういう値をとればいいかを考えなおせるはずです。