２元連立方程式

質問

sinα＋cosα=sinαcosαのとき、sinα＋cosαの値を求める問題で

sinα=X、cosα=Yとおくと
(x＾2)＋(y＾2)=1
x＋y＝ｘｙ
x＋y=ｔtookuto
(t＾2)-2t-1=0
t=1±√2
までは解いたのですがこの後が分かりません

回答No.3

Mr_Holland

sinとcosの合成は、加法定理を利用して次のように行います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#.E4.B8.89.E8.A7.92.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.8A.A0.E6.B3.95.E5.AE.9A.E7.90.86

a sin(x) + b cos (x) = √(a^2+b^2) sin(x+θ)
ただし、a,b≠0, cos(θ)=a/√(a^2+b^2), sin(θ))=b/√(a^2+b^2)

あるいは、cosで表す場合には（符号に気をつける）、

a sin(x) - b cos (x) = √(a^2+b^2) cos(x+θ)
ただし、a,b≠0, sin(θ)=a/√(a^2+b^2), cos(θ)=b/√(a^2+b^2)

となります。

ここから問題のsinα＋cosαでは、＃１さんの言うように、
-√2 ≦ sinα＋cosα ≦ √2
であることが分かるので、あとは求められると思います。

なお、2次方程式の解と係数の関係については、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
にあるように、２解α、βをもつｘの方程式は次のように表されます。
(x-α)(x-β) = x^2 -(α+β)x + αβ = 0
この式を２次のの係数が１の方程式：x^2+ax+b=0と比較すると、
a = -(α+β)
b = αβ
であることが分かります。
これが２次方程式の解と係数の関係で、α+β、αβの２値が分かっているときにはよく利用される解法なので、覚えておくと良いでしょう。

回答No.2

postro

x+y=p
xy=q
の時、解と係数の関係から、x,yはuについての二次方程式
u^2-pu+q=0
の解である

回答No.1

kakkysan

t=1±√2 すなわち
sinα＋cosα=1±√2
ですが
三角関数の合成の公式を適用すると
-？≦sinα＋cosα≦？ だから
sinα＋cosαは 1±√2 のどちらかの値

補足

参考書にはx,yはuについての2次方程式
(u＾2)-tu＋t=0
と書いてあるのですがこの式はどうやって現れたのですか？