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2元連立方程式

sinα+cosα=sinαcosαのとき、sinα+cosαの値を求める問題で sinα=X、cosα=Yとおくと (x^2)+(y^2)=1 x+y=xy x+y=ttookuto (t^2)-2t-1=0 t=1±√2 までは解いたのですがこの後が分かりません

みんなの回答

  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.3

sinとcosの合成は、加法定理を利用して次のように行います。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#.E4.B8.89.E8.A7.92.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.8A.A0.E6.B3.95.E5.AE.9A.E7.90.86 a sin(x) + b cos (x) = √(a^2+b^2) sin(x+θ) ただし、a,b≠0, cos(θ)=a/√(a^2+b^2), sin(θ))=b/√(a^2+b^2) あるいは、cosで表す場合には(符号に気をつける)、 a sin(x) - b cos (x) = √(a^2+b^2) cos(x+θ) ただし、a,b≠0, sin(θ)=a/√(a^2+b^2), cos(θ)=b/√(a^2+b^2) となります。 ここから問題のsinα+cosαでは、#1さんの言うように、 -√2 ≦ sinα+cosα ≦ √2 であることが分かるので、あとは求められると思います。 なお、2次方程式の解と係数の関係については、 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82 にあるように、2解α、βをもつxの方程式は次のように表されます。 (x-α)(x-β) = x^2 -(α+β)x + αβ = 0 この式を2次のの係数が1の方程式:x^2+ax+b=0と比較すると、 a = -(α+β) b = αβ であることが分かります。 これが2次方程式の解と係数の関係で、α+β、αβの2値が分かっているときにはよく利用される解法なので、覚えておくと良いでしょう。

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  • postro
  • ベストアンサー率43% (156/357)
回答No.2

x+y=p xy=q の時、解と係数の関係から、x,yはuについての二次方程式 u^2-pu+q=0 の解である

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  • kakkysan
  • ベストアンサー率37% (190/511)
回答No.1

t=1±√2 すなわち sinα+cosα=1±√2 ですが 三角関数の合成の公式を適用すると -?≦sinα+cosα≦? だから sinα+cosαは 1±√2 のどちらかの値

suika_11
質問者

補足

参考書にはx,yはuについての2次方程式 (u^2)-tu+t=0 と書いてあるのですがこの式はどうやって現れたのですか?

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