偏微分方程式の問題について質問です。

質問

偏微分方程式の問題について質問です。

http://www.mech.tohoku.ac.jp/examination/grad/pdf/Problem2007.pdf

の数学Ｂの１.の問題で、
(1)は、g(x)=-1/3x^3+1/3xとなった（多分、合っていると思う）のですが、

(2)で、
u(x,t)=v(x,t)+g(x)において、g(x)は求まっているのでv(x,t)を求めるために、
∂v/∂t=∂^2v/∂x^2
の式を
XT'=X''T
X(0,t)=X(1,t)=0
として、X=Asin(nπ)x
T=Ｃexp(-nπt)
となり、重ね合わせから
v(x,t)=?An*sin(nπ)x*exp(-nπt)

よって、u(x,t)=?An*sin(nπ)x*exp(-nπt)-1/3x^3+1/3x

u(x,0)=x^2(1-x)/3を使って、Anを求めればいいのか、とも思ったのですが、
ここで止まってしまいました。
どうすればいいのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

∂u/∂t=∂2u/∂x2+2x (0≦x≦1,t≧0)
u(0,t)=0
u(1,t)=0
u(x,0)=(x^2)(1-x)/3
(1)
u(x,t)=v(x,t)+g(x)
∂v/∂t=∂2v/∂x2
v(0,t)=0
v(1,t)=0
g(x)=-(x^3/3)+x/3

(2)
v(x,t)=Σ_{n=1～∞}A_n*sin(nπx)*e^{-(nπ)^2t}
u(x,t)=Σ_{n=1～∞}(A_n*sin(nπx)*e^{-(nπ)^2t})-(x^3/3)+x/3
u(x,0)=Σ_{n=1～∞}(A_n*sin(nπx))-(x^3/3)+x/3=(x^2)(1-x)/3

Σ_{k=1～∞}A_k*sin(kπx) = (x^2-x)/3
両辺にsin(nπx)をかけてx=0～1の範囲で積分すると
∫_{0～1}sin(nπx){Σ_{k=1～∞}A_k*sin(kπx)}dx=∫_{0～1}(sin(nπx)(x^2-x)/3)dx
左辺は
∫_{0～1}sin(nπx){Σ_{k=1～∞}A_k*sin(kπx)}dx
=Σ_{k=1～∞}A_k*∫_{0～1}{sin(kπx)sin(nπx)}dx
=Σ_{k=1～∞}A_k*∫_{0～1}{(cos((k-n)πx)-cos((k+n)πx))/2}dx
=A_n*∫_{0～1}{(1-cos(2nπx))/2}dx
　+Σ_{k≠n}A_k*∫_{0～1}{(cos((k-n)πx)-cos((k+n)πx))/2}dx
=A_n*[(x/2)-(sin(2nπx)/(2*2nπ))]_{0～1}
　+Σ_{k≠n}A_k*[(sin((k-n)πx)/((k-n)π)-sin((k+n)πx)/((k+n)π))/2]_{0～1}
=A_n/2
となるから
A_n
=2∫_{0～1}(sin(nπx)(x^2-x)/3)dx
=2([((x^2-x)/3)(-cos(nπx)/(nπ))]_{0～1}+∫_{0～1}((2x-1)/3)(cos(nπx)/(nπ))dx)
=2[((x^2-x)/3)(-cos(nπx)/(nπ))+((2x-1)/3)(sin(nπx)/(nπ)^2)
　+(2/3)(cos(nπx)/(nπ)^3)]_{0～1}
=(4/3)(((-1)^n)-1)/(nπ)^3

A_{2k}=0
A_{2k-1}=(-8/3)/((2k-1)π)^3

v(x,t)={(-8/3π^3)Σ_{n=1～∞}({1/(2n-1)^3}*sin{(2n-1)πx}*e^[-{(2n-1)π}^2t])}
u(x,t)={(-8/3π^3)Σ_{n=1～∞}({1/(2n-1)^3}*sin{(2n-1)πx}*e^[-{(2n-1)π}^2t])}
　-(x^3/3)+x/3

お礼

回答ありがとうございます。

フーリエがきちんと理解できていないことが分かりました。
回答を見て、理解できたように思えます。

ありがとうございました。

回答No.1

vaguechat

具体的に解くのは質問者に任せるとしておおまかな手順だけ。

小問(1)で g(x) が求まっているので、これと境界条件 u(x,0) により、

u(x,t) = v(x,t) + g(x)

であるから、

v(x,0) = u(x,0) - g(x)

で、t=0 における v(x,t) の境界条件が定まる。
これで、

∂v/∂t = ∂^2v/∂x^2
v(0,t) = v(1,t) = 0
v(x,0) = u(x,0) - g(x)

なる偏微分方程式を解けば v(x,t) が求まる。
これは質問者が行っているように変数分離法で解け、
重ね合わせる各モードの係数 A_n は、
各モードの時間項が t=0 で 1 になるので、

v(x,0) = Σ A_n sin(nπx)

となり、これは 0≦x≦1 を区間とする v(x,0) のフーリエ正弦級数の係数である。
こうして v(x,t) が求まれば、

u(x,t) = v(x,t) + g(x)

で u(x,t) が求まる。

補足

回答ありがとうございます。

フーリエが、少し不安なんですが
「0≦x≦1 を区間とする v(x,0) のフーリエ正弦級数の係数」
というのは、
Ａ_n＝1/π・∫[0～2π]v(x,0)sin(nπx)dx

で良いのでしょうか。0≦x≦1という範囲と[0～2π]という区間が一致しているのかが
分からないのですが・・・・・・

それと、上の式で合っているとすると答えが
u(x,t)=Σ1/π・∫[0～2π]x(x-1)/3・sin(nπx)dx・sin(nπx)・exp{-(nπ)^2t}-x^3/3+1/3x

となったのですが、このかたちのまま解答しても良いのでしょうか。もっと、きれいな形に直せたりしますか。

質問だらけですいません。
よろしくお願いします。