解析の基本的な質問です。

質問

初歩的な質問で申し訳ありません。
以下の２点についてお答えいただければと思います。

（１）∮A(x)B(x)dx (x in R)
このときA(x)≦c（c：定数）で抑えられるならば
上記の積分を行う際にA(x)を積分の外に出してA(x)∮B(x)dxと計算できますか？

（２）φ(x)をR上有界な一様連続な関数とします。
このとき、何故任意にφ(x)∈C_0^∞(R)と取れるのでしょうか？

以上の２点についてどなたか詳しい説明をよろしくお願いいたします。

回答No.2

ramayana

質問文等にいっぱいミスがあるように思われ、質問の意図を解読する方が大変ですが。

（１）　もちろんできません。積分変数を含む関数を積分の外に出せないのは、初歩の初歩です。

（２）　まず、ANo.1の補足にあるx∈(-∞,ε]∩[∞-ε,∞)は、x∈(-∞,ε]∪[∞-ε,∞)の間違いでないですか？（もっと言えば、εの説明も無いし）それで、C_0^∞(R)というのは、「Rで無限回微分可能で、ある有界領域の外で0になる関数全体」と勝手に解釈することにします。

一般に「R上有界な一様連続な関数全体」は、C_0^∞(R)を含みますが、逆は言えません(exp(x^(-2))が反例)。

で、「何故任意にφ(x)∈C_0^∞(R)と取れるのでしょうか？」という質問ですが、取れません。

回答No.1

Tacosan

∮A(x)B(x)dx (x in R) とは (あるいは「実数上での周回積分」とは) どういう意味でしょうか?

C_0^∞(R) の定義は?

補足

申し訳ありません、変換間違いで普通の積分です。
C_0^∞(R)={φ∈Ck(R)(RでCk級);あるε>0に対してx∈(-∞,ε]∩[∞-ε,∞)ならばφ(x)=0}
です。