線形写像についての質問です

質問

P₂(K) ={f(x)=a₀+a₁x+a₂x²│ a₀, a₁, a₂ ∈ K}から P₁(K) = { f(x)=b₀+ b₁x | b₀, b₁ ∈ K } へ
の線形写像 TをT(f(x)) = f´(x) （f(x) の微分）と定めたとき、T の階数を求めよ
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura

P_2(K) ={f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2| a_0, a_1, a_2 ∈ K}から
P_1(K) = { f(x)=b_0+ b_1x | b_0, b_1 ∈ K } へ
の線形写像 TをT(f(x)) = f'(x) (f(x) の微分)と定めたとき
T(a_0+a_1x+a_2x^2)=a_1+2a_2x
だから
0*a_0+1*a_1+0*a_2=a_1
0*a_0+0*a_1+2*a_2=a_2
だから
(0,1,0)(a_0)=( a_1 )
(0,0,2)(a_1)=(2a_2)
............(a_2)
だから
(a_0,a_1,a_2)を(a_1,2a_2)へ対応させる
行列表現は
(0,1,0)
(0,0,2)
だから
A=
(0,1,0)
(0,0,2)
とすると
Aは3×2の行列だから
行列Aの階数
rank(A)≦min(3,2)=2
Aの2次小行列式で
|1,0|=1*2≠0
|0,2|
0でない2次小行列式がある場合次数2が階数となるから
rankA=2
だから
T の階数は
2

お礼

ありがとうございました！