特定の条件を満たす写像の探し方
この質問ではまず，実数の部分集合A(⊂R)から実n次元数ベクトル空間の部分集合B(⊂R^n)への線形写像 f : A(⊂R) → B(⊂R^n) を考えます．但し，n≧2とします．
いま，fとgの合成写像 h = gf : A(⊂R) → C(⊂R) が線形写像となるような，非線形写像 g : B(⊂R^n) → C(⊂R) を求めたいとします．
Aとfが未知であり，Bが既知であるとき，このような非線形写像gを求める方法は，ありますでしょうか？
例）
n = 3, A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, f(a) = (2a+3, 7a-6, 5a+4) (a∈A⊂R)
の場合，
B = {(5,1,9),(7,8,14),(9,15,19),(11,22,24),(13,29,29)}
となります．ここで，非線形写像gを例えば，
g(b) = log { 1.3 * exp(3*b1/2) * exp(5*b2/7) * exp(2*b3/5) + 2.2 * exp(4*b1/2) * exp(2*b2/7) * exp(4*b3/5) }
(b=(b1,b2,b3)∈B⊂R^3)
のように定めれば，合成写像 h = gf は線形写像となります．
任意のfに対し，hを線形写像とするような非線形写像gは，無数に考えられます．しかし，Aとfが未知であり，Bのみが既知（Bが既知なので，当然ながら集合Aの大きさやnは既知となります）であるとき，1つ以上のgを求める方法は果たしてあるのか，それが質問の意図です．
（付録の質問として，もし方法がないとすれば，hが「出来るだけ強い」線形性をもつようなgを求める方法はありますでしょうか？）
よろしくお願い致します．
お礼
すいません。 お礼が遅くなってしまいました。 ramayanaさんの回答のおかげで解けました。 ありがとうございました。