写像の問題について

質問

(1)a,b,cを実数とする。写像ψ：R→Rをψ(x)=x^3+ax^2+bx+cで定義する。このとき、写像ψが単射になる必要十分条件を求めよ。
(2)連続な写像f:(-1,1)→(-1,1)で不動点を持たないものの例を具体的に作れ。
(3)連続な写像ψ：R^2→R^2で、不動点を持たないものの例を具体的に作れ。

(1)については、単射はｐ≠ｑのときψ(p)≠ψ(q)を示せばいいのかなと思ったのですが、必要十分条件をどのように答えていいのかわかりません。
(2)(3)については、問題の意味がわかりません。

わかる方、よろしくお願いします。

回答No.4

ojisan7 · ベストアンサー

>(1)については、ψ(x)が極値をもたなければいいと考えてa^2<3bがでてきたのですが、cについてもなにかでてこないとまずいのでしょうか・・・。
それで、正解です。ｃについては必要ありません。ただし、a^2<=3bですよね。

>(2)については、回答者さまのf(x)=x^2は、x=0のときf(0)=0で不動点を持つのではないかと思うのですが、
確かにそうですよね。範囲を間違えていました。でも、考え方は同じです。それでは、これはどうでしょうか。
f(x)=1/2*(x+1)^2-1
これだったら、連続写像であり、しかも与えられた範囲の中に不動点を持ちませんね。

お礼

なるほど、そうですね。

丁寧に何度もありがとうございました。助かりました。

回答No.3

ojisan7

>(1)については方針は間違っていなかったのですね。ほっとしました。
確かにそうですけど、その方針で何が分かったのですか？
a,b,c間に成り立つ条件を求めるのが、この問題で求められていることなのです。

>となると(2)はけっこう厄介かもしれないですね
このような感想を漏らすということ自体、不動点の意味を全く理解していないように見受けられます。たとえば、f(x)=x^2はどうですか。
この場合、当然、ｆは連続写像です。しかも与えられた範囲の中に不動点は存在しません。(3)についても明らかです。たとえば、ある一定のベクトルだけ平行移動した場合を考えれば十分でしょう。

補足

(1)については、グラフを考えたときにψ(x)が極値をもたなければいいと考えてa^2<3bがでてきたのですが、cについてもなにかでてこないとまずいのでしょうか・・・。

(2)については、回答者さまのf(x)=x^2は、x=0のときf(0)=0で不動点を持つのではないかと思うのですが、わたしの不動点の解釈が間違っているのでしょうか？申し訳ないですが、お願いします。

回答No.2

noname#221368

(2)，(3)について。

　たまたまこういう書き方をご存知なかっただけだと思います。実数全体の集合をＲとしたとき、例えば、(1)はそこに書かれているように、実数の一点xから別の点ψ(x)への写像なので、

　ψ：Ｒ→Ｒ（ψ(x)＝x^3+ax^2+bx+c）

なんて書き方を時々します。(2)は、定義域が開区間Ｉ＝(-1，1)で、値域もＩである連続写像（関数）、

　f：Ｉ→Ｉかつ連続

という意味に過ぎません。(3)は2次元平面から2次元平面への写像なので、まさに2×2の行列が例になります。

お礼

なるほど。そういう意味でしたか。ありがとうございました。
となると(2)はけっこう厄介かもしれないですね；がんばってみます。

回答No.1

ojisan7

そうです。質問者さんの思った通りで良いです。すると、（１）は明らかですね。ｐ≠ｑのときψ(p)≠ψ(q)となるとき、a,b,cにはどんな関係が成り立つのでしょうか。逆にa,b,cにその関係がなりたつとき、ｐ≠ｑのときψ(p)≠ψ(q)であることが示せるでしょうか。

（２）,（３）はコンパクトではありませんから明らかですね。不動点というのはx=f(x)となる点ｘです。ｆやψの具体例はたくさんあります。ご自分で考えてください。

補足

(1)については方針は間違っていなかったのですね。ほっとしました。ありがとうございました。

(2)(3)については、
連続な写像f:(-1,1)→(-1,1)
連続な写像ψ：R^2→R^2
自体が、なにを表現したいのかよくわかりません。不動点はわかるのですが・・・。よかったらいくつか具体例をあげて教えてくださると助かります。もちろん自分でも考えますが、たとえば行列をうつす写像を求めよ、などだったら理解できるのですが、この問題のように書かれていると意味がわかりません。