• ベストアンサー
  • 困ってます

写像の連続性についての問題です。

写像の連続性についての問題です。 次の写像が連続かどうか判断し理由も述べよ f:Q→R, f(x)=0(if x<2^1/2) 1(if x≧2^1/2) Q:有理数 R:実数 有理数から実数への写像です。問題なのはfの値が0から1になる境目が 2^1/2であるという事です。 わかるかたいましたらよろしくお願いいたします。<(_ _)>

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

(f:Q→R,連続)←def→(∀V開⊂R→f^{-1}(V)開⊂Q) ∀V開⊂Rとする a∈f^{-1}(V)とすると a∈Q だから a≠√2 |a-√2|>0 U={x∈Q| |x-a|<|a-√2|}開⊂Q x∈U とすると a-|a-√2|<x<a+|a-√2| a>√2のときf(a)=1∈Vで、x>√2だからf(x)=1∈V→x∈f^{-1}(V) a<√2のときf(a)=0∈Vで、x<√2だからf(x)=0∈V→x∈f^{-1}(V) →U⊂f^{-1}(V) →f^{-1}(V)開⊂Q →fは連続

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なるほど! 簡潔かつわかりやすい解答でした。 ありがとうございます

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

「写像の連続の定義」と「Qの開集合の定義」に従えばいい. 「有理数の稠密性」も当然関係する 例: g(x):Q->R g(x) = 0 (x<0.5) g(x) = 1 (x>=0.5) 1のRにおける十分小さい開集合Uをとると g^{-1}(U) = { 0.5以上の有理数 } 0.5を含むRの任意の開集合Vに対して, Vは0.5未満の有理数を含むので g^{-1}(U)はQの開集合にはなりえない よってgは連続ではない さて,問題のfでは境界が2^{1/2}という無理数だというのがポイント. 結論としてはfは連続になるのだけども どう証明します? 上の「例」がヒントです. これは連続ではないことの証明だから例示すればよくてシンプルだけど, 問題は「連続」であることの証明だから もうちょっと細かく書かないとだめです.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご解答ありがとうございました<(_ _)>

  • 回答No.1
  • funoe
  • ベストアンサー率46% (222/475)

連続。 理由) どんなx∈Q に対しても 小さいδを与えれば区間(xーδ、x+δ)に√2を含まないようにできるから。(具体的なδの与え方が問われているのかどうかは、問題のニュアンス次第) その区間内で、fは定数関数なので連続なのはあきらか。 理由2)・・・これで許してもらえれば楽なんですが。 fに不連続点がないから。 fの定義から不連続点があればそれは√2だけだが、√2でfは定義されておらずしたがって定義域内に不連続点がないから。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご解答ありがとうございました<(_ _)>

関連するQ&A

  • 解析学の連続関数?の問題でこまっています

    教えていただきたいのは、以下の問題です。 f[a,b]→Rが [a,b] 上連続で、f の取る値がすべて有理数ならば f は定数関数になることを示せ ヒント:中間値の定理 f[a,b]→Rが[a,b]上で連続とすると、fはf(a) とf(b)の中間の値をすべて取る 有理数の稠密性  任意の実数 x と任意のε>0に対しある有理数 q で|x-q|<εを満たすものが存在する よろしくおねがいします。

  • 写像の問題について

    (1)a,b,cを実数とする。写像ψ:R→Rをψ(x)=x^3+ax^2+bx+cで定義する。このとき、写像ψが単射になる必要十分条件を求めよ。 (2)連続な写像f:(-1,1)→(-1,1)で不動点を持たないものの例を具体的に作れ。 (3)連続な写像ψ:R^2→R^2で、不動点を持たないものの例を具体的に作れ。 (1)については、単射はp≠qのときψ(p)≠ψ(q)を示せばいいのかなと思ったのですが、必要十分条件をどのように答えていいのかわかりません。 (2)(3)については、問題の意味がわかりません。 わかる方、よろしくお願いします。

  • 位相による写像が連続かどうかの問題です。

    位相による写像が連続かどうかの問題です。 (X,Qx),(Y,Qy):位相空間 写像f:X→Yが連続 ⇔任意のU∈Qyに対して,f^-1(U)∈Qx―(1) R^m:m次元数空間 Q^(m):R^mの開集合全体のなす集合族 X=(R^m,Q^(m)) Y=(R^n,Q^(n)) とすると f:R^m→R^nが(1)の意味で連続 ⇔任意のx∈R^m,任意のε>0,δ(存在する)>0,s,t f(N(x,δ))⊂N(f(x),ε) を証明せよ。 わかる方いましたらどうかよろしくお願いいたします<(_ _)>

  • 写像の問題なのですが…

    写像の問題なのですが… Rで実数全体の集合を表す。 f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7をそれぞれ次の式で定義されたRからRへの写像とする。 f1(x)=x-2 f2(x)=x^2 f3(x)=x^3 -4 f4(x)=x^3 -4x f5(x)=e^x f6(x)=f2?f5 f7(x)=f2?f1?f5 これらの写像が、全単射、単射だが全射でない、全射だが単射でない、 のいずれであるかを判定しなさい。(証明は必要なし) という問題があるのですが、f4,f5,f6,f7の図がうまく描けず、 答えがないためあっているか不安です。 もしよろしければ、教えてほしいです。 お願いします。

  • 連続写像の証明

    A=(a 0)    (0 b),a,bは実数、Aは2次行列。 写像f:x→Ax ,x=(x)           (y) のとき、fが連続写像である事を示すにはどのように示せばよいでしょうか? よろしくお願いします。

  • ユークリッド平面と連続開写像

    「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)=x1 このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」 以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか? また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか? 宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------- X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2 そうだとすると √(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} だから ∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε fは連続である。 fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。 ∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。 ∴fはR2からR1への連続開写像である。 ----------------------------------------------------------------

  • 写像についての問題

    写像についての質問です。 解答できるものだけでよいのでお願いします。 次の集合X,Yについて指定された性質を持つ写像f:X→Yの例を一つ挙げよ。ただし、Rは実数全体の集合、Zは整数全体の集合。 1、X=R、Y={x∈Z│x≧-1}, fは単射でないが、全射である 2、X=R, Y={x∈R| x >0} fは単射であるが、全射ではない。 3、X={x∈R | 1≦x≦3}, Y={x∈R | 2≦x≦5} fは全単射である。

  • 値を確率的に返す関数(写像)の例

    2つの値を確率的に返す関数(写像)の例を教えて下さい。 例えば、f(x)において、xの定義域が、実数全体とすると、 xが、有理数なら、関数の値が1 無理数なら 0 という関数? は、確率50%くらい で、1と0を返しますが、 これを、f(x、y)として、 x、yの関係に応じて、確率が変わる: 例えば、y=x cos2θ とすると、 1になる確率が、cos2θ になり、0になる確率が、sin2θ になる ようにしたいのです。 例えばでいいので、関数(写像)の式を、お教え下さい。

  • 準同型写像

    S_0は閉区間[0,1]で連続な関数全体の集合とし、さらにS_0は加法群とする。このとき、『f∈Sから実数Rへの写像f→∫_0~1f(x)dxは、S_0から実数Rへの準同型写像である。』 これを証明してください。できればお願いしますm(__)m (読みにくいかもしれませんが、インテグラル0から1です。)

  • 連続写像について

    fは閉区間[0.1]から実数の集合への連続写像 gは半開区間(0.1]から実数の集合への連続写像 ただし、コンパクト集合上の実数値連続関数に関する最大値の定理は必要なら証明なしで用いてよい。 1.fは最大値をとるといえるか、言えるならば理由を明記し、言えなければ反例を示せ。 2.gは最大値をとるといえるか、言えるならば理由を明記し、言えなければ反例を示せ。 3.gは最大値または最小値のどちらか少なくとも1つは取ると言えるか、 言えるならば理由を明記し、言えなければ反例を示せ。 4.fの像にはどんなものがありえるか、全ての可能性を求め、その理由を明記せよ 5.fが単射であると仮定する。fの像をIとおく。 このとき、fは[0.1]からIへの同相写像であると言えるか。 言えるならば証明し、言えなければ反例をあげよ。 6.gの像にはどんなものがあり得るか?、全ての可能性を求めよ。 という問題を解きたいのですが、手がつけられません。 参考になるサイトでもいいので教えてください。