- ベストアンサー
Rの微分同相で一次関数以外にありますか？
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
adinatさん、こんにちは。問題の関数は多数あると思います。例えば y = x + (1/2)sin x としてみましょう。 y' = 1 + (1/2)cos x >0 だから、狭義単調増加でx→±∞のときy→±∞であり、RからRへの全単射であることは明らかだと思います。逆関数の全ての階数の導関数も存在します。y=g(x)の逆関数x=f(y)の高階導関数はBellの多項式を用いて求めることができます。fのk階導関数をfkの様に表わすと、Bellの多項式でfnの係数はg1^nだから fn = (f1,…fn-1,g1,…gnの多項式)/g1^n でBellの多項式はg1についてn次以下だからg1が決して0にならなければ、逆関数の全ての階数の導関数も有界です。Bellの多項式については、一松信他、「数学公式I」(岩波) p.6-8などを御覧下さい。
関連するQ&A
- 楕円と円が微分同相であること
円：S^1={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2=1} 楕円：E={(x,y)∈R^2 | (x/a)^2+(y/b)^2=1} に対して，原点を通る任意の半直線はE,S^1のそれぞれ一点で交わる． それらの点を p∈E，q∈S^1 とするとき，q を p に写すことで，S^1 から E への写像 Π が定まる． このとき，Πが微分同相写像であることを示せ． といった問題について教えてください． 微分同相写像であることを示すには， Π：同相写像 かつ Π および Π^(-1) がC^∞写像 を示せばいいと思いますが，そもそも Π がどういった写像になるのかが記述できなくて困っています． 半直線と円の交点から，楕円との交点へと写す写像はどう書けるのでしょうか？ よろしくお願いします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 同相写像についての問題がわかりません
Cを複素数体,C⊃Uは単連結な開領域とします。 U⊃Fを有界な閉集合で閉包cl(F)⊂Uとします。 この時,リーマンの写像定理から, f:U→{z∈C;|z|<1}なる同相写像fが存在しますが, 0<∃r<1;f(F)⊂{z∈C;|z|≦r}となる事を示したく思ってます。 どうすればいいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 同相写像であることの証明について。
同相写像であることの証明について。 R上の開区画(-1,1)からRへの写像 x → x/(1-｜x｜)が同相写像、つまり全単射かつ連続で逆写像写像であることの証明が分かりません。 どうかご助力お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 同相写像となる事の証明をお教え下さい
よろしくお願い致します。 f(x+yi)=(x+yi)^{1/2}の2価関数の片方の一価関数 map g:C＼{0}→Cが g(x+yi):=(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)) の時(C＼{0}からCの半面への写像), 同相写像となる事を示したいのですがどのようにすれば示せますでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 位相空間の同相について
位相空間(X,Ox)と(Y,Oy)で、全単射f:X→Yに対して、ｆおよび逆写像f^(-1)がともに連続であるときｆを位相写像といい、f:X→Yなる位相写像が存在するとき、(X,Ox)と(Y,Oy)は同相（同位相）であるというのでした。 位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、 （X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、証明はどのようにしたらいいでしょうか。 位相写像が存在しない、ということを言えばいいと思いますが、存在しない、ということをどのように示したらいいのかがわかりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。自分でも投稿後にy=2x+sin xなんかいいかな、と思いました。超函数論を勉強していて、合成函数の微分公式が成り立つのか試していて、二階の部分が消えないC^∞微分同相で、例の条件を満たすものを探していたのですが、これでどうやら反例になりそうです。C^∞ではなくて正則同型に限ると恐らく多項式になるんでしたよね。