線形代数 線形写像 質問

質問

線形写像の定義は、
f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たすです。

（1）f(x)=2x+1が線形写像でないことを示せ。

f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、
f(ax1+bx2)=2(x1+x2)+1=2（x1）+2（x2）+1
af(x1)+bf(x2)=（2(x1）+1）+（2（x2）+1）
よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
とありました。
正しいでしょうか？

f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、
f(ax1+bx2)=2(ax1+bx2)+1=2（ax1）+2（bx2）+1
af(x1)+bf(x2)=（2a(x1）+1）+（2b（x2）+1）
よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
では間違いでしょうか？

f(x)=2x+1における、2がaやbを表しているのでしょうか？

（2）f(x)=2(x+1)が線形写像でないことを示せ。
についてですが、f(x)=2x+2とすれば、示せるのですが、
f(x)=2(x+1)でも(1)の手順で示せるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.9

178-tall · ベストアンサー

>線形写像の定義から、 f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね？
>ここは、問題ないと考えているのですが、どうなのでしょうか？

　　↓ この (※) の前半のこと？

>f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a（x1^2）+b（x2^2）・・・(※)
　　↓
(※) の前半は、f( ) にて変数の係数倍での線形性をチェックする等式です。

f(x)=x^2 についていえば、
　左辺：　f(ax1)+f(bx2) = (ax1)^2 + (bx2)^2
　右辺：　af(x1)+bf(x2) = a(x1)^2 + b(x2)^2
と不成立。よって、f(x)=x^2 は線形じゃないというのが結論。

>f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2 は明らかに間違いという認識で良いでしょうか？
　　↓
f(x)=x^2 の勘定としては「間違い」ない。
f( ) が線形なら右辺は af(x1)+b(x2) でなければならない。
(ax1)^2 + (bx2)^2 はそれと異なるから、f(x)=x^2 は線形じゃないという結論。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

何度もありがとうございました。

回答No.8

Tacosan

「線形写像の定義から、f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね？」
ってのは, 何を確認してるの?

f が線形写像なら f(ax1+bx2) = af(x1)+bf(x2) は成り立つけど, f が線形写像でないなら一般には成り立たない.

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.7

178-tall

>同様に、f(x)=x^2について示す場合について、
>f(ax1+bx2)=（ax1+bx2）^2
>f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a（x1^2）+b（x2^2）・・・(※)
>(※)の部分ですが、
>f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2　として間違いなのでしょうか？

原題のチェック式の右辺を使う、
　af(x1)+b(x2)=a(x1^2) + b(x2^2)
なので、(※) の後半 2 項が正しい。

f(ax1)+f(bx2) の勘定そのものに「間違い」は無いけれど、原題は f(ax1)+f(bx2) なる検証式を含んでおらず、題意に沿った結論には直結しないのでは？

補足

ご回答ありがとうございます。

線形写像の定義から、
f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね？
ここは、問題ないと考えているのですが、どうなのでしょうか？

f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2
は明らかに間違いという認識で良いでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

178-tall

蛇足。

>f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たす

二つに分けて、
　f(ax) = af(x)
　f(x1+x2) = f(x1) + f(x2)
をそれぞれチェックしても良いわけですけど、テストだと点数を割り引く性悪なお方もいらっしゃる？

お礼

すいません。追加質問で申し訳ないのですが、

同様に、f(x)=x^2について示す場合について、
f(ax1+bx2)=（ax1+bx2）^2
f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a（x1^2）+b（x2^2）・・・(※)

(※)の部分ですが、
f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2
として間違いなのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。

テストで原点されるかどうかはわかりませんが、
f(ax1+bx2) では、写像 f(x) = 2x+1 の x に ax1+bx2 を代入するのに、
af(x1)+bf(x2) では、af(x1) = a(2x1+1), bf(x2) = b(2x2+1) と個別に
代入する。
結局、xは（x1+x2）でもあって、x1,x2でもあることに違和感を感じて
しまいます。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

misumiss

f が線型写像なら, f(0) = 0 のはずです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)では、それぞれx1は2x1+1，x2は2x2+1となるのに、f(ax1+bx2)における、x1とx2は、（x1+x2）で、2x+1と表しています。
>x1とx2の表現の仕方が、f(x1+x2)とf(x1)+f(x2)で異なる事に違和感を 感じます。これは、なぜでしょうか？

要するに定義式の両辺を別々に、かつ「忠実に」勘定するだけ、なのです…。

左辺 f(ax1+bx2) では、写像 f(x) = 2x+1 の x に ax1+bx2 を代入、だから
　2(ax1+bx2) + 1　　…(*1)
とするしかない。

右辺 af(x1)+bf(x2) では、af(x1) = a(2x1+1), bf(x2) = b(2x2+1) と個別に勘定するしかない。
　a*(2x1+1)+b*(2x2+1) = 2(ax1+bx2) + a+b　　…(*2)

「違和感を感じ」るのはナゼ？

>また、f(x)=2(x+1)は、
>f(ax1+bx2)=2（（ax1+bx2）+1）
>af(x1)+bf(x2)=a(2(x1+1))+b(2(x2+1))
>として解けば良いでしょうか？

その通り！

お礼

ご回答ありがとうございます。

理解できました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

反例を挙げればよいのでは？

(1) は 2x+1 は x=1 の時 3 なので

定義から

f(1) = 3 なら f(3)=9 のはず。

でも、x = 3 の時 2x+1 = 7 なので線形写像ではない。

(2)も同様。

お礼

ご回答ありがとうございます。

そのようにして考えると、線形写像かどうかはすぐわかりますね。
ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>線形写像の定義は、f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たすです。

>（1）f(x)=2x+1が線形写像でないことを示せ。
>f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、
>f(ax1+bx2)=2(x1+x2)+1=2（x1）+2（x2）+1
>af(x1)+bf(x2)=（2(x1）+1）+（2（x2）+1）
>よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)　とありました。　正しいでしょうか？

論証手続きを再考してみて。

f(x)=2x+1 の右辺の x へ ax1+bx2 を代入。
　2(ax1+bx2) + 1　　…(*1)
また、定義式右辺 af(x1)+bf(x2) を勘定してみると？
　a*(2x1+1)+b*(2x2+1) = 2(ax1+bx2) + a+b　　…(*2)
>よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)

…みたいだけど？

>f(x)=2x+1における、2がaやbを表しているのでしょうか？

写像 の 2 と a, b は別物。
定義式は、「任意の」a, b について成立たねばならんのです。

>（2）f(x)=2(x+1)が線形写像でないことを示せ。 についてですが、f(x)=2x+2とすれば、示せるのですが、f(x)=2(x+1)でも(1)の手順で示せるのでしょうか？

YES !

補足

ご回答ありがとうございます。

f(ax1+bx2)=2(ax1+bx2)+1
af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)=2(ax1+bx2)+a+b
よって、
f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
ということですね。

af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)では、
それぞれx1は2x1+1，x2は2x2+1となるのに、
f(ax1+bx2)における、x1とx2は、
（x1+x2）で、2x+1と表しています。
x1とx2の表現の仕方が、f(x1+x2)とf(x1)+f(x2)で異なる事に違和感を
感じます。これは、なぜでしょうか？

また、f(x)=2(x+1)は、
f(ax1+bx2)=2（（ax1+bx2）+1）
af(x1)+bf(x2)=a(2(x1+1))+b(2(x2+1))
として解けば良いでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

そんな文章, どこで見つけたんでしょうか?

「正しい」かどうかを判断する以前の問題. 書いた人間の頭がおかしいと思われてもしょうがないレベル.