- ベストアンサー
線形写像
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＃１さんの指摘通り、内積の性質にもとづいて計算を実行すればよいと思います。 いま、ｘ, ｙはＲ^２の任意のベクトル、λ は任意の実数とするとき、 ｆ(ｘ＋ｙ)＝(a,ｘ＋ｙ)＝(a,ｘ)＋(a,ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ) ｆ(λｘ)＝(a,λｘ)＝λ(a,ｘ)＝λｆ(ｘ) 従って、ｆ：Ｒ^2→Ｒ は線形写像です。
その他の回答 (2)
- yaksa
- ベストアンサー率42% (84/197)
証明に関しては、＃１の方の通りですが、 実は、「内積」の線形性は定義だったりします。 つまり、線形写像でない「内積」というのは、ありえないわけです。
お礼
内積と線形性にかかわりがあるとは知りませんでした。ありがとうございました。
- betagamma
- ベストアンサー率34% (195/558)
線形写像とは、線形な写像、です。写像であることは、「写像をfとする」で、前提とされているので、線形であることを示せばいいのです。 f(x+y)=f(x)+f(y) スカラー数pに対して f(px)=pf(x) を証明すれば、線形であることが示せます。
お礼
ありがとうございます。 いろいろ調べてみて、 f(x+y)=f(x)+f(y) スカラー数pに対して f(px)=pf(x) をしめせばいいは分かりました。 もしよろしかったら、具体的に示してもらえませでしょうか。
関連するQ&A
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換？と思ったのですが間違いでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像の問題です。
三次元ベクトルa∈R^3を固定する。 このとき、f:R^3→R^3をf(x)=(a,x)aと定めると、fは線形写像であることを示せ。 どなたか分かる方がいらっしゃったら教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像の問題です。
線形写像の問題です。 V:n次元実ベクトル空間 線形写像f:V→V f^k:k回写像 とするとき (1)任意の自然数kに対して Imf^(k+1)⊂Imf^k を示せ (2)dimImf^k=1⇒f^(k+1)=cf^k (cは実数)を示せ (1)はImf^kの元からkerf^(k+1)の元を引いて、fで写像させるとImf^(k+1)だからなのはわかるんですが、どのように証明を書いたらいいですか？ (2)1次元の写像は1次元または0という意味ですよね？ 任意にn次元ベクトルxをとる。 dimImf^k=1より、 f^kは行ベクトルで (a,0,…,0) (転置ベクトルで書いている)と表せる。 f^(k)x=(ax,0,…,0)となる これをfで写像すると、Imf^(k+1)は1次元または0次元になっていないようにしか思えないんですが… よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 以前、同様の題目で質問させて頂きました。 前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5940429.html 線形写像と線形変換についての違いは理解出来たのですが、 分からない点があるので新規で質問させて頂きます。 線形写像の定義を表す場合、 R^n,R^mをR上のベクトル空間とする。 ベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^mへの線形写像という。 k∈Rである。 上の記述では何か間違っている点はありますでしょうか？ n次元ベクトル空間はR^nとよく表記されているのを目にします。 Rは実数を表すイニシャルだと認識しています。しかし、kは複素数や虚数でも成り立つと 思うのでk∈Rと言う表現は正しくないのでは？と考えた次第です。 定数倍を表す場合は別の基礎体を考えなければならないと言う事でしょうか？ 基礎体はRではなくKとして表記した方が正しいでしょうか？ また、次元を表すnやmに関してはn,mは実数を前提として基礎体をRとしているので わざわざn,m∈Rと表記する必要は無いと考えているのですが、n,m∈Rも表記した方が 良いのでしょうか？ 初歩的な質問で大変恐縮ですがご回答よろしくお願い致します。 初歩的な質問ですいません・・・よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像、ランクの問題について説明お願いします。
線形写像、ランク の問題及び解答があるのですが、解答が理解できないので教えてください。 -----例題-------- ｎ個の実数 a1, a2, ・・・、an を固定する。R^n のベクトル ｘ で、その成分 x1，x2，・・・、xn が方程式 a1x1 + a2x2 + ・・・ + anxn = 0 をみたすようなものの全体を W とするとき、W の次元を決定せよ。 -----解答--------- 写像 ｆ： R^ｎ → R を f (ベクトル x ) = f t (x1, x2, x3,..., xn) = a1x1 + ・・・ + anxn (ftのtはf の転置行列の印） によって定義すると、これは線形写像である。そして、W = Ker f に他ならない。 もしもすべての ai が ０ の場合は明らかに W = R^n であるから、dim W = n である。 もしも ai のうち１つでも ０ でないのがあると、写像 f は全射になるから、線形写像の基本定理から dim W + dim R = dim R^n = n したがって dim W = n - 1 -------解答終わり------- という例題解答があるのですが、なぜ dim W = n - 1 となるのか、つまり、 なぜ dim R = １ となるのかがわかりません。 説明をよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形写像について
特に気にもしていなかった線形写像について とある疑問をもったら、急に頭が混乱してしまいました。 R^4 から R^2 への写像 T:(x1, x2, x3, x4) → (x2, x3, 0) は線形写像ですが、こういった線形写像でのx1, x2, ... は、自然基底eに関する成分表示と決まっているのでしょうか？例えば、この点(x1, x2, x3, x4)の同じ線形空間での他の基底e'による成分表示が (x'1, x'2, x'3, x'4) であり、 T':(x'1, x'2, x'3, x'4) → (0, 0, x'4) といった写像は "線形写像" とはいえないのでしょうか？ （つまり、基底e'の成分表示で表現した "線形写像" という言い方はないのか？） そのために、"表現行列" といったものがあるのでしょうか。 非常にわかりにくい質問で申し訳ないのですが、 どなたかアドバイスを下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
内積については示し方がよく分からなかったので本当に助かりました。 ありがとうございました。