指数関数の定義について

質問

『微分積分学』(笠原、サイエンス社)の命題2.31にの指数法則の証明のところでわからないところがあります。

まず、実数a>1および任意の実数xに対してa^x=sup(a^r)と定義します。ここでsupはr≦xとなるすべての有理数rについての上限です。

こう定義したときに指数法則を満たすかどうかについて。
任意の実数x,yに対して指数法則(a^x)(a^y)=a^(x+y)を示す証明の中で、2つの集合{r+s;r,sは有理数,r≦x,r≦y}と{t;tは有理数,t≦x+y}とが等しいとあります。

たとえばx=π,y=-πのときt=0は後者の元ですが、t=r+s,r≦x,s≦yとなる有理数r,sが存在するならばr≦π,-r≦-πとなりr=πとなってしまってπ(円周率)は有理数ではないので矛盾, つまり上の相等は成り立たないように見えます。

私の推論のどこがおかしいのか教えてください。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

実際あなたの言う通り、これは成立しない。
{r+s | r∈Q, s∈Q, r+s < x+y} と {t∈Q | t < x+y }
に修正しないといけない。（≦でなくて<）

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

ご指摘のように
A={r+s;r,sは有理数,r<x,r<y}
B={t;tは有理数,t<x+y}
と置いてみました。

A⊂Bは明らか
A⊃Bについて。t<x+yなる任意の有理数tに対して
t-x<yなのである有理数sが存在してt-x<s<y
t-s=rとおけばよい。

有理数の稠密性がうまく使えてるようです。

回答No.2

five_163

どうしてr+s=0なのですか？これが間違いのような気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

ここではx=π,y=-πとしています。
0は有理数であり0≦0=π+(-π)なので0は後者の集合の元です。

それ(つまり0)が前者の集合の元であるためには0=r+s,r≦π,s≦-πとなる有理数r,sを見つける必要があります。r+s=0という結論が得られるのではなく、あくまでこの場合はr+s=0となるrやsの存在を示したいのです。

回答No.1

five_163

回答になっているかどうか分かりませんが、

sを使っていないようですが、使うべきではと。-r≦-πではなく、s≦-πなのかと。

>r=πとなってしまって
　　↑
こうはならないと思いますが。

お礼

間違いを指摘していただきありがとうございました。質問の仕方が雑でした。

補足

2番目の集合書き損じました。以下のように訂正させてください。
{r+s;r,sは有理数,r≦x,s≦y}と{t;tは有理数,t≦x+y}

r≦π, s≦-πとなりますが
r+s=0なので2番目の不等式は-r≦-πつまりπ≦rとなります。
r≦πとあわせてr=πとなります。