命題の否定について質問です

質問

Ｍ，Ｎを空でない実数の部分集合とする。このとき命題「Ｍに属すどんな数ｘをとっても、ｘ≧ｙとなるｙがＮに存在する」の否定が解答では「Ｍに属すある数ｘに対して、ｘ≧ｙとなるｙがＮに存在しない」となっているんですが、ｘ≧ｙの部分は否定してｘ＜ｙにしなくてもよいんですか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

∀x(x∈M ⇒ ∃y(y∈N ∧ x≧y))　「Mに属すどんなxをとっても、x≧yとなるyがNに存在する」
の否定は
￢∀x(x∈M ⇒ ∃y(y∈N ∧ x≧y))「（Mに属すどんなxをとっても、x≧yとなるyがNに存在する）ということはない」
であり、これは
∃x￢(x∈M ⇒ ∃y(y∈N ∧ x≧y))「（xがMに属すなら、x≧yとなるyがNに存在する）ということはないようなxが存在する」
と同じことであり、
∃x(x∈M ∧ ￢∃y(y∈N ∧ x≧y))　「Mに属すある数xに対して、Nに属しかつy≧xであるようなyはない」
とも同じことであり、
∃x(x∈M ∧ ∀y(x≧y ⇒ y∉N))　「Mに属すある数xに対して、y≧xであるようなどんなyもNに属さない」
とも同じことであり、
∃x(x∈M ∧ ∀y(y∈N ⇒ x<y))　「Mに属すある数xに対して、Nに属すどんな数yをとってもx<yである」
とも同じこと。

　記号論理が使えれば、上記のように形式的な計算をやるだけで間違いのない結果が得られる。しかし、記号論理が使えないのなら、命題の意味内容を読み取った上でその否定を考えねばならない。手抜きして機械的にやろうとすると、

「Ｍに属すどんな数ｘをとっても、ｘ≧ｙとなるｙがＮに存在する」
の否定は
「Ｍに属さないどれでもない数以外のｘをとらなくても、ｘ<ｙとならないｙがＮ以外に存在しない」
かな？

なんて変なことになってしまいます。

回答No.1

Tacosan

この質問の意図が
「Ｍに属すある数ｘに対して、ｘ<ｙとなるｙがＮに存在しない」ではないのか
ということだとしたら, その答は NO.