集合論の命題の証明について質問させていただきます．

質問

集合論の命題の証明について質問させていただきます．

集合列{E_k}，k=1,...における各E_kが互いに素（E_i∩E_j=空集合）

ならば

∪E_k (ただし，∪はk=nから∞まで）は単調減少列である（nを大きくすると空集合に近づく）

以上が示したい命題です．

おそらくイプシロン・デルタ法を使えば良いと思われるのですが，

「∪E_k (ただし，∪はk=nから∞まで）は単調減少列である」

示したいこの部分をイプシロン・デルタを使って記述する方法がわかりません．

よろしければご教授いただけないでしょうか？
よろしくお願い致します．

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

単調減少であることを示したいの？
空集合に近づくことを示したいの？

後者であれば、「空集合に近づく」の定義を補足にどうぞ。
いずれにせよ、イプシロンデルタは関係ありません。

補足

言葉足らずで申し訳ありません。前者です。

回答No.5

alice_44

ああ、そうか。「ただし，∪はk=nから∞まで」って書いてある。
問題を読み違えてたのは、私のほうだ。恐縮。

集合論の公理を調べると、任意の集合列 A_n に対して、
∪[k=n…∞]A_k は集合であると定義されている。
従って、∪[k=n…∞]E_k も存在する。

No.3 と正に同じ理由で、
∪[k=n+1…∞]E_k ⊆ (∪[k=n+1…∞]E_k) ∪ E_n = ∪[k=n…∞]E_k
だから、集合列 ∪[k=n…∞]E_k は単調減少である。

よって、∪[k=n…∞]E_k ⊆ ∪[k=1…∞]E_k だが、

∪[k=1…∞]E_k の任意の元 x に対して、x ∈ E_m であるような m が
それぞれ存在し、
k ≠ m であれば E_k と E_m は互素だから x は E_k の元でない。
すなわち、n > m であれば x は ∪[k=n…∞]E_k の元でない。

これは、lim[n→∞]∪[k=n…∞]E_k に元が存在しないことを意味する。

補足

ご回答ありがとうございます。不適切な表記をしてしまい申し訳ありませんでした。もう一度集合論の勉強をはじめからしていきたいと思います。

回答No.4

muturajcp

{n,m}⊂N=(自然数)
n≦m
x∈∪_{k≧m,k∈N}E_k
ならば
x∈E_k,k≧mとなる自然数kがある
n≦m≦kだから
x∈∪_{k≧n,k∈N}E_k
∪_{k≧n,k∈N}E_k⊃∪_{k≧m,k∈N}E_k
だから
{∪_{k≧n,k∈N}E_k}_{n∈N}は単調減少列

∩_{n∈N}(∪_{k≧n,k∈N}E_k)≠φと仮定すると
∃x∈∩_{n∈N}(∪_{k≧n,k∈N}E_k)
x∈E_iとなるiがある
j≧i+1,x∈E_jとなるjがある
j>i,x∈E_i∩E_j=φで矛盾だから
∩_{n∈N}(∪_{k≧n,k∈N}E_k)=φ
だが、
E_k={k}
とすると
任意の自然数nに対して
|∪_{k≧n,k∈N}E_k|=|{k∈N:k≧n}|=|N|=∞
∪_{k≧n,k∈N}E_k　の濃度は∞だから
「nを大きくすると空集合に近づく」とは通常言いません。

補足

ご回答ありがとうございます。混乱を招く表記をしてしまい申し訳ありませんでした。もう一度しっかり集合論の勉強をしたいと思います。

回答No.3

alice_44

E_k が互素か互素でないかに拘わらず、
∪[k≦n+1]E_k = (∪[k≦n]E_k) ∪ E_(n+1)
⊇ ∪[k≦n]E_k ですから、
∪E_k は、増大することはあっても、
減少することはありません。

問題の読み違いでしょう。

回答No.2

Tacosan

うぅ～んと, たとえば
E_k = { √(k番目の素数) の正の整数倍 }
とすると E_k はすべて互いに素なんだけど, 任意の n に対して
∪E_k (ただし，∪はk=nから∞まで）
は必ず (可算) 無限集合ですよねぇ....
問題を誤解してるのかなぁ?