座標空間R^3における開集合の判定方法
- 座標空間R^3における開集合の判定方法について質問があります。
- 具体的には、座標空間R^3の標準的な距離を用いて、B(a,ε)が開集合であるかどうか判定したいです。
- また、開集合の定義として、「x∈B(a,ε)である任意の元xに対して、B(x,ε)⊂B(a,ε)となるεが少なくとも１つ存在する」という条件があるのですが、この条件を示す方法も知りたいです。
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開空間かどうかの判定？
難しい論理記号はよくわかりません。 座標空間R^3の標準的な距離について、 B(a,ε)、ε＞０は開集合か判定したいです。 （問題はまったく解いたことがありません） 質問１ 開集合の定義から 「x∈B(a,ε)である任意の元xに対して、B(x,ε)⊂B(a,ε)となるεが少なくとも１つ存在する」・・・・（※） ことを示せばいいんでしょうか？ 質問２ ※のεは、適当なものを具体的に当てはめてみればいいんですか？（意味不明でしたら無視してください） 結局この問題はどう解けばいいでしょうか・・・？ 質問３（できれば答えて欲しい質問です） B(x,ε)のεと、B(a,ε)のεは別物ですよね？ならどちらかのεは別の記号（βとか）で書いて、β近傍とでも呼べばいいんですか？ 長くなりましたが、緊急で非常に困ってますのでどうか教えてください。よろしくお願いします。
- jtjw0tjuj
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質問１ 開集合の定義から 「x∈B(a,ε)である任意の元xに対して、B(x,ε)⊂B(a,ε)となるεが少なくとも１つ存在する」・・・・（※） ことを示せばいいんでしょうか？ ☆☆☆ 「x∈B(a,ε)である任意の元xに対して、B(x,ε)⊂B(a,ε)となるεが少なくとも１つ存在する」・・・・（※） ではなく、普通 「x∈B(a,ε)である任意の元xに対して、B(x,δ)⊂B(a,ε)となるδ>0が少なくとも１つ存在する」 です。 証明ですが、 δ = ε-d(a,x) > 0 （これ、パターンです。） b∈B(x,δ) d(a,b) ≦ d(a,x) + d(x,b) ≦ d(a,x) + δ = d(a,x) + (ε-d(a,x)) = ε なので、 B(x,δ)⊂B(a,ε) となります。 これで、質問に全部、答えていますよね。 ちなみに、d(a,b)はaとbの距離です。
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- NemurinekoNya
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＃No.1です。 ごめんなさい、訂正があります。 【誤】 d(a,b) ≦ d(a,x) + d(x,b) ≦ d(a,x) + δ = d(a,x) + (ε-d(a,x)) = ε 【正】 d(a,b) ≦ d(a,x) + d(x,b) ＜ d(a,x) + δ = d(a,x) + (ε-d(a,x)) = ε 訂正、よろしくお願いします。
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お礼
ありがとうございました。 いただいた回答を参考に勉強したいと思います。