位相空間・直積空間

質問

はじめまして。
数学科の学生です。
位相空間のテストを間近に控え勉強しています。

「集合と位相」　鎌田正良著
Ｐ１０７[３－４]
Ａ１を位相空間Ｘ１の部分空間とし、Ａ２を位相空間Ｘ２の部分空間とすると、直積空間Ａ１×Ａ２は直積空間Ｘ１×Ｘ２の部分空間を示せ。

この問題が分かりません。
相対位相と直積空間を使うというのは分かるのですが、
直積空間の定義自体がしっくりきません。
どなたかお力をお貸しください。

回答No.3

koko_u · ベストアンサー

A1×A2 の位相は二通り考えられる
a. A1×A2 を X1×X2 の部分集合とした相対位相
b. A1、A2 を各々 X1、X2 の部分集合として相対位相を考えた上で、A1×A2の直積位相を入れる

問題は a. と b. が結局同じであることを言うべきなので、回答中の O(A1×A2) が a. b. どちらの位相について言及しているのかを明確にする必要があると思います。

また、O(A1×A2)を b. の意味として、
これが {U_{λ∈Λ} (V_λ×U_λ）| V_λ∈O(A)、U_λ∈O(B)}となることは自明ではありません。
テストで書いたら、Λって何？とツッコまれること請け合いです。

補足

回答ありがとうございます。
テストに出たら絶対満点を取りたい問題なのでもう一度示します。
ご意見をお願いいたします。

Ａ１＝Ａ、Ａ２＝Ｂ、Ｘ１＝Ｘ、Ｘ２＝Ｙとする。
[ａ]
まず直積の定義より
Ｏ（Ａ×Ｂ）
＝{（Ｖ×Ｕ）｜Ｖ∈Ｏ（Ａ）、Ｕ∈Ｏ（Ｂ）}　・・・（★）
Ｏ（Ｘ×Ｙ）
＝{（Ｗ×Ｚ）｜Ｗ∈Ｏ（Ｘ）、Ｚ∈Ｏ（Ｙ）}　・・・（☆）
[ｂ]
また
Ａ⊂Ｘより相対位相を考えると
Ｖ∈Ｏ（Ａ）　⇔　∃Ｗ∈Ｏ（Ｘ）　s.t. Ｖ＝Ａ∩Ｗ
Ｂ⊂Ｙより同様に
Ｕ∈Ｏ（Ｂ）　⇔　∃Ｚ∈Ｏ（Ｙ） s.t.　Ｕ＝Ｂ∩Ｚ
ここでＶ＝Ａ∩Ｗ、Ｕ＝Ｂ∩Ｚ　より（★）に代入すると
Ｏ（Ａ×Ｂ）
＝{（（Ａ∩Ｗ）×（Ｂ∩Ｚ））｜（Ａ∩Ｗ）∈Ｏ（Ａ）、（Ｂ∩Ｚ）∈Ｏ（Ｂ）}
となり、
＝{（Ａ×Ｂ）∩（Ｗ×Ｚ）}
と変形される。
（☆）より（Ｗ×Ｚ）はＯ（Ｘ×Ｙ）の元である。
よって（Ａ×Ｂ）は（Ｘ×Ｙ）に対する相対位相をもつ。
題意は示された。

koko_uさんのご意見をふまえるとこのような感じでしょうか？
また直積の定義ですが、λ＝２
つまり２つの位相空間での直積空間は上記のようでいいのでしょうか？
教科書を見てみるとこのようにはなっているのですが・・・

回答No.5

kabaokaba

>「集合と位相」　鎌田正良著

回答する人がみんなこの本を持ってると思いますか？
回答する人があなたがうけている講義の「流儀」を
知ってると思いますか？

位相空間論の初歩は
講義をする人の採用する定義の方法で
解法は相当かわるんです．
今回の「直積位相」だって
No.3さんのおっしゃるように，
解釈が二通りあるわけです．
講義ではどういう風に定義していましたか？
それによって答えは変わります．
数学は「何を定義にして何を証明するか」というのが
需要です．
＃これに似たようなものに「閉包」がありますね
＃閉包の定義の仕方によって，閉包の基本性質の証明は
＃がらっとかわります．

そもそも
こういうのはまずは講義をしている先生に聞くべきでしょう．
試験にこの問題が出ると公言されてて，
先生には聞けないというのであれば
同じ講義を受けている人と議論すればいいわけです．
先輩に議論のまとめ役をしてもらうのもよいでしょう．

>>教科書を見てみるとこのようにはなっているのですが・・・
>バカな！？
そうですね，そんな風になってるはずはありません．
もし，そのように見えるのであれば
それは直積位相の定義ではなく，
直積位相の「開基」の定義でしょう．
つまり，その本が本当にそのように書いてあるのであれば
位相を直接定めるのではなく「開基」で定める流儀なのでしょう．

ちなみに解答例そのものは，大筋では間違ってないのですが，
No.3さん，No.2さんご指摘のような甘い部分がありますよ．

お礼

ご指摘ありがとうございます。
友達の中でも位相はちんぷんかんぷんで・・・
今日、先生のところへ行きましたが不在でしたのでこの場を利用させていただきました。（^_^；）
流儀が違うと証明も違ってくるとは・・・
そこまで認識していませんでした。
木曜にテストがあるのでそれに向けてさらに勉強したいと思います。

回答No.4

koko_u

>つまり２つの位相空間での直積空間は上記のようでいいのでしょうか？
>教科書を見てみるとこのようにはなっているのですが・・・
バカな！？

えーと。前回の回答の方がマシでした。

回答No.2

ojisan7

そうですね。ほぼ、そんな感じで良いと思います。ただ、入力ミスでしょうが、
Ｖλ＝Ａλ∩Ｗλ、Ｕλ＝Ｂλ∩Ｚλ　
ではなく、
Ｖλ＝Ａ∩Ｗλ、Ｕλ＝Ｂ∩Ｚλ　
と、訂正しておいて下さい。
質問者さんの、この証明を読んで分かる人は、位相空間論を理解している人だけですね。証明は、単に式を羅列するだけでなく、行間に言葉を入れた方が分かりやすいですね。

回答No.1

ojisan7

直積空間の定義を復習して下さい。素直な問題だと思います。Ｘ１×Ｘ２の開集合はＸ１の開集合Ｏ１とＸ２の開集合Ｏ２との直積Ｏ１×Ｏ２と定義されます。Ａ１×Ａ２の開集合は、相対位相の直積をとればよいでしょう。これが、Ｘ１×Ｘ２の部分空間としての相対位相になっていることを確認すれば良いのです。

お礼

ありがとうございます。
こんな感じでやってみましたが、どうでしょうか？

Ａ１＝Ａ、Ａ２＝Ｂ、Ｘ１＝Ｘ、Ｘ２＝Ｙとする。

Ａ⊂Ｘより
Ｖ∈Ｏ（Ａ）　⇔　∃Ｗ∈Ｏ（Ｘ）　s.t. Ｖ＝Ａ∩Ｗ
Ｂ⊂Ｙより
Ｕ∈Ｏ（Ｂ）　⇔　∃Ｚ∈Ｏ（Ｙ） s.t.　Ｕ＝Ｂ∩Ｚ
ここで直積空間を導入して
Ｏ（Ａ×Ｂ）
＝{∪（λ∈Λ）（Ｖλ×Ｕλ）｜Ｖλ∈Ｏ（Ａ）、Ｕλ∈Ｏ（Ｂ）}
Λは集合。
Ｖλ＝Ａλ∩Ｗλ、Ｕλ＝Ｂλ∩Ｚλ　より
Ｏ（Ａ×Ｂ）
＝{∪（λ∈Λ）（（Ａλ∩Ｗλ）×（Ｂλ∩Ｚλ））}
＝{∪（λ∈Λ）（（Ａλ×Ｂλ）∩（Ｗλ×Ｚλ））}
と表せる。
{∪（λ∈Λ）（Ｗλ×Ｚλ）}＝Ｏ（Ｘ×Ｙ）　（相対位相の定義より）
よって（Ａ×Ｂ）は（Ｘ×Ｙ）に対する相対位相をもつので
題意は示された。