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位相数学の証明問題です。

位相数学の証明問題です。 以下の証明を,どなたか分かる方,お願いします。 R^2の3つの部分集合A = { (x,y) | (x,y) ≠(0,0) },B = { (x,y) | x^2 + y^2 > 1 },C = { (x,y) | |x| >1 or |y| > 1 } は,いずれも同相(※)であることを示せ。 ※2つの位相空間X,Yが同相であるとは,2つの連続写像 f :X → Y および g :Y → X で g o f = 1x , f o g = 1y となるものが存在することをいう。

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  • 回答No.3

訂正。 A → C (r,θ) → (r+1/|cos(θ)|,θ) when -π/4 ≦ θ < π/4, 3π/4 ≦ θ < 5π/4 (r+1/|sin(θ)|,θ) when π/4 ≦ θ < 3π/4, 5π/4 ≦ θ < 7π/4

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  • 回答No.2

位相空間の問題なので、当然 cosθの定義や、その連続性について悩んでるんですよね?

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  • 回答No.1

簡単のため極座標表示。 A → B (r,θ) → (r+1,θ) B → C (r,θ) → (1/|cos(θ)|,θ) when -π/4 ≦ θ < π/4, 3π/4 ≦ θ < 5π/4 (1/|sin(θ)|,θ) when π/4 ≦ θ < 3π/4, 5π/4 ≦ θ < 7π/4

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