n単体が閉集合であることの証明

質問

一般的な位置にある ( n+1 ) 個の点、a_0 , a_1 , … , a_n ∈ R^m をとります。
このとき、n単体 |a_0a_1…a_n| を

|a_0a_1…a_n| = {(λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n) | λ_0 + λ_1 + … + λ_n = 1 , λ_i ≧０ ｝

で定義します。

さらに |a_0a_1…a_n| の元 x = (λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n)　に対して、（n+1）個の実数の列 (λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n) をxの重心座標と呼びます。

このとき、重心座標を考える事によってn単体が R^mの閉集合となる事がすぐ分かる…らしいのですが、私にはどうしてそうなるのかがよく分かりません。

補集合が開集合となるのが閉集合の定義ですが、定義からどうしめしてよいのかが分かりません。
重心座標を使う、という事なので、次のような関数

　ｆ：|a_0a_1…a_n|　→　R^（n+1)　、　
　　(λ_0)(a_0) + (λ_1)(a_1) + … + (λ_n)(a_n)　|→　 (λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n)

を考えて、この連続性を示すのかと思いましたが、この連続性もどう示したらよいのか分かりません。

２単体や３単体、４単体まではイメージも出来るのでそれが閉集合となっていることは直感的には分かるのですが、それ以上となるとイメージが出来ずに困っています。

分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#152422 · ベストアンサー

その文脈であれば、

｛(λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n) ∈R^（n+1)｜λ_0 + λ_1 + … + λ_n = 1 , λ_i ≧０ ｝

のコンパクト性と、コンパクトの連続像がコンパクトとであることを使えということかと。

お礼

という事は、上のｆの逆写像ｇを考え、

・ｇの連続性
・｛(λ_0 ,λ_1 , … ,λ_n) ∈R^（n+1)｜λ_0 + λ_1 + … + λ_n = 1 , λ_i ≧０ ｝のコンパクト性

を示せばよい、という事ですよね？

ｇの連続性は合成関数の連続性をうまく使えば証明できそうですが、コンパクト性を示すのが難しそうです。おそらく、閉区間[0 , 1]の積と同相になる事を言えばよいはずですが…

あとは自分でやってみます。方針が分かってきたのでなんとかなりそうです。
どうもありがとうございました。

回答No.4

noname#152422

ANo.2の補足について。

閉かどうか判断するだけならfを考える必要はそもそもありません。

どうしてもfにこだわりたいなら、fがwell-definedであるには「一般的な位置にある」という条件を使わなければなりません。でも、閉であることを示すだけならその条件は不要です。

その条件はここでは与えられているとはいうものの、不必要な条件を使うのはあんまり良い証明とはいえないと考えます。

お礼

そうですね、確かに「一般的な位置にある」事からfのwell-defind性を示して、それからgを定義して…というのは完全に無駄な作業になってしまいますね。
それならgを先に定義すべきですね。

ご丁寧な回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#152422

連投失礼。

念のためですが、A.No.2の最終行で言っている位相はR^(n+1)でのことです。

回答No.2

noname#152422

> 上のｆの逆写像ｇを考え、

そのfというのは存在するとは限らないので、最初からgを考えてください。

> ｇの連続性は合成関数の連続性をうまく使えば証明できそうですが、

R^mの位相を普通にユークリッド空間の距離で考えて三角不等式でいけそうです。

> コンパクト性を示すのが難しそうです。

ユークリッド空間ですから難しく考えずに有界閉集合であることを示せば良いです。

お礼

回答ありがとうございます。
自分でやって見てわかったのですが、確かにgの連続性は三角不等式から示せますね。
コンパクトである事も、有界閉集合であることを示す事によって証明できました。

ここで1つ疑問なのですが、
＞そのfというのは存在するとは限らないので、
とありますが、fが存在しない場合というのはあるのでしょうか？
単体の元に重心座標を対応させる写像なので問題ないはずですが…

しかし、上のfは全射じゃないので逆写像は存在するとは限りませんね。
もしそういう意味であれば私の書いた事が間違っていました。
申し訳ありません。