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(1)m>n≧1を満たす整数m,nに対して次式が成り立つことを証明せよ

(1)m>n≧1を満たす整数m,nに対して次式が成り立つことを証明せよ (nCn)+(n+1Cn)+(n+2Cn)+……(mCn)=(m+1Cn+1) (2)2n個の整数 1,2,3,……2n-1,2n を無作為にn個ずつの集合に分けると、一方の集合に含まれる最大値は 2n である。もう一方の集合に含まれる最大値をXとして、Xの期待値を求めよ。 教えてくださいお願いします

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みんなの回答

  • 回答No.5

#3です。 #4さんがほとんど答えを出してくださっているようですが。^^; >(1)に関してですが、帰納法ですか? >これは、nは固定されているとみなせるのでしょうか 組合せCの前の数だけが変化しているので、nは固定されているとみて構いませんよ。 そうすれば、前の数は n+ k(ただし、kの範囲に注意)となりますね。 (2)のグループ分けについて、考え方(というよりも検討の付け方)はいくつかあると思います。 【検討1:大きな数から除外していく方法】 #1で「2n-1があれば X= 2n-1ですね。」と書きましたが、 X= 2n-2となるときを考えると、「2n-1はグループに存在せず、2n-2があるとき」となります。 以下、上の方の数字から除外していくことを考えます。 【検討2:大きな数までを取り出す方法】 たとえば、X= 2n-5となったとします。 残りの n-1個の数は、2n-6以下の数を n-1個選び出せばいいことになります。 計算の方法を考えると、検討2の方が簡単だと思います。 #4さんの回答も、こちらの内容になると思います。 (1)の計算結果とも結びつきそうですね。

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  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

(1) 中学生向け: No.1 ~ No.m+1 の物の中から n+1 個を選ぶとき、 選んだ内で番号最大の物が No.n+1 であるような選び方は nCn 通り。 選んだ内で番号最大の物が No.n+2 であるような選び方は (n+1)Cn 通り。 選んだ内で番号最大の物が No.n+3 であるような選び方は (n+2)Cn 通り。 … 選んだ内で番号最大の物が No.m+1 であるような選び方は mCn 通り。

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  • 回答No.3

#1です。 >○○法、とはなんなんでしょうか 等式や不等式の証明をするときに、よく使われる方法です。 真正面には証明できないような式を証明するときって、どうするんでしたっけ? >(2)に関しては1時間ほど考えましたが全くの手詰まりです >解答お願いします>< 1時間は、どのように考えたのでしょうか? そして、#1でヒントも少し書いているのですが・・・ もう考える気力ないですか? もう少し突っ込んだヒントを出しておくと、Xのとり得るもっとも小さい値は nです。 このときのグループ分けは、どのようになっているでしょうか? このような問題は、具体的な数字(n= 1, 2, 3ぐらい)を代入して考えるのも一つの手法です。 (そこから規則性を見出す)

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質問者からの補足

(1)に関してですが、帰納法ですか? これは、nは固定されているとみなせるのでしょうか (2)に関しては、実験してもう少し考えて見ます

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

(1) だけ: (x+1)^n + ... + (x+1)^m = [(x+1)^(m+1) - (x+1)^n]/x.

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  • 回答No.1

こんばんわ。 まずは、どこまで考えたかを書いてみてください。 考え方だけでも合っていれば、それはそれでいいことですし、 間違っていればきちんと指摘してもらえると思います。 たとえば、 (1)ならば、nは固定されたままですから定数扱いにして、○○法を使う方法が考えられますよね。 式の変形でも示すことはできるかもしれません。 (2) 2nと違うグループに、2n-1があれば X= 2n-1ですね。 以下、このようにシミュレートしてから確率がどうなるかを考えてみてください。

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質問者からの補足

こんばんわ (1)に関してはとりあえず(右辺)から、最終的に(左辺)からなにをしめせばいいか、ということを考えつつ(左辺)を分解していきました。すると分母に(n+1)!をつくったところで手詰まりとなりました ○○法、とはなんなんでしょうか (2)に関しては1時間ほど考えましたが全くの手詰まりです 解答お願いします><

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