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直積集合の作り方について
- 直積集合の作成方法として、添数集合N(自然数)を定義し、その元をλとして添数づけられた集合族(A)λ∈Nを定義します。
- 集合族Aを(-λ, λ)として定義し、全ての添数λ(∈N)についての集合族Aの和集合で直積集合を構成します。
- この方法で構成される直積集合は(-∞,∞)の集合となります。この考え方に基づいて座標軸xを構成することができます。
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度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。 そして、 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。 と記載されているのですが、 これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (A×Bの元<a,b>は2^(2^(A∪B))の元?) でも 通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、 元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?
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回答ありがとうございました。 説明してくれたところはなんとか理解できたように思います。 直積集合の理解がかなり進んだと思います。 最後の集合Aの部分集合全体からなる集合を2^Aと書くことができる話についてなのですが、 概念は理解できました。 この性質を使えば、元々順序数から構成されたある集合(自然数)からもっと大きな集合概念を形作れますよね? たとえば整数、有理数、実数などなど。 実際、添数[0,1]→Rλ(λ∈[0,1])のような関数(写像先が元々の集合より大きい集合)を定義することが直積集合を用いて行えるわけですし。 わかるまで丁寧に答えていただいて本当にありがとうございます。