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「直積集合の全集合」とは?

別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html を見ていて気になった点についてです。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? 通常、「空集合」や「全集合」は、何らかの集合の ベキ集合族に対して定義される概念かと思います。 一般の集合族に対する「全集合」とは、どのように 定義されるのでしょう? 「集合族Φの全集合」と言ったら、Φ自身のことでしょうか、 それとも、Φの最大元のことでしょうか? ご存知の方、解説よろしくお願いします。 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。 Y と Z の空間としての直積に付随するσ集合族 という意味で 言っているのだとすれば、「直積」は、このΨ×Ωではなく、 Ψ×Ωの任意個の元の和集合全体が成す集合族 になるハズです。 その際、「全集合」が Y×Z であることは違いありませんが… また、A×0 = 0×B = 0 と考えるなら、この式の「×」を 0 と B の集合としての直積と解釈したことになります。 Ψ×Ω = { A×B ; A∈Ψ, B∈Ω } と表記するのならば、 右辺内の A×B は、A と B の対 (A,B) という意図で 標準的でない書き方をしてしまったものと解釈すべきで、 A と B の集合としての直積ではありえません。 その場合、0×B は、Ψ×Ωの元で Y成分が 0、Z成分が B の ものであって、空集合ではありません。

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  • 回答No.1

 そうかなあ? > 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 > ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている > Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 > ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。  はてさて、かの質問氏はそんなこと書いてましたっけか。引用すると >> σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と >> 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを >> もとに作られているとします。 >> {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) とあります。すなわち、  Ψは集合Yの部分集合を要素とするσ集合体(完全加法族)である。  Ωは集合Zの部分集合を要素とするσ集合体である。  また、A×Bはフツーに読めばYの部分集合AとZの部分集合Bの直積集合 A×B = {<a,b> | a∈A ∧ b∈B} のことでしょう。空集合をφと書くことにすると、ついでながら A×φ = {<a,b> | a∈A ∧ b∈φ} = φ φ×B = {<a,b> | a∈φ ∧ b∈B} = φ です。で、(*)の集合をXと書くことにすれば、 X = {A×B | A∈Ψ ∧ B∈Ω} と、ここまで、特段変なところはないように思われます。  さて、「Xの全集合(全体集合)」だの「Xの空集合」という言い方、実は聞いたことがないんですけれども、ここで考えているもののうちで一番大きそうなのがXなのだから、おそらくXが「Xの全集合」なのでしょう。そしてまた、Xが集合である以上は φ⊂X なのだから、φが「Xの空集合」なんだろうなあと思います。(で、ここまでの話は、集合Xがどうやって出来ているかは全然関係ない。)  ところで、上記のX自身もまたσ集合体になっているんじゃありませんかね?だとすると X = Y×Z となりそうですから、結局「Xの全集合はY×Zで、Xの空集合はφ」ということになるんじゃありません?

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質問者からのお礼

そうですね! 原文をよく読むと、確かに 「Ψ、Ωを使って、直積をとった集合族」とはありますが、 「ΨとΩの直積をとった集合族」とは書いてありません。 (*) の表記のほうを優先すれば、前回 A No.1 のようになる と思われます。空気の読み方が足りなかったようです。 そこで再度、今回の私の質問です。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? それは、一般の集合族に対して定義されるものでしょうか? 「集合族γの全集合」と言ったら、γ自身のことでしょうか、 それとも、γの最大元のことでしょうか? ご回答の、 > おそらくXが「Xの全集合」なのでしょう。 の箇所は、「集合族γの全集合」はγ自身のこと~式、 (*) の「全集合」を Y×Z と結論しているところは、 「集合族γの全集合」はγの最大元~式の考えなので、戸惑います。 私的には、「全集合」というのは、集合計算において 否定を安全に定義するために存在が要請される最大元のこと だと捉えているので、ブール代数でないものの「全集合」を定義 することには、大きな違和感があります。 > 上記のX自身もまたσ集合体になっているんじゃありませんかね? とのことですが、(*) は、σ集合族にはなりません。 何より、加法閉でない。R^2 内の2個の矩形からなる集合を考えてみると 判るかと思います。 ご回答ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

そうでした。 って、いやこれはANo.1のコメントについてです。 > (*) は、σ集合族にはなりません。  仰るとおりです。余計なことを書いて間違えました。(*^^*)  Xはσ集合族にはなりませんし、 X = Y×Z でもない。かくてstomachmanのANo.1は修正が必要で、修正の結果残るのは「どんな集合Xであれ、「Xの全集合」とはXのこと、「Xの空集合」とはφのこと」というアホみたいな話だけです。 > ブール代数でないものの「全集合」を定義することには、大きな違和感があります。 「「全集合」は、集合Xのべき集合2^Xを関係⊂で束と見たときに、その極大元を指す用語として意味を持つ」と考えることもできる。ですがこれを「束2^Xの極大元はXだ」とは言えても「2^Xの全集合はXだ」と言ったらおかしくて、やっぱり「Xの全集合はXだ」としかならない。となると「全集合」なる用語の出番は、ご指摘の通り「補集合」とセットになっているに違いない。  で、「補集合」は、stomachman的にはですね、単なる表記上の略記・便法だと捉えています。すなわち、「補集合」ってのは、差集合をいちいち書くのがめんどくさいから「イツモノヤツからAを除いたもの」という風に略記しただけの、ま、文化的言い回しみたいなもんだと思っている。  その際に「イツモノヤツ」を指すのに「全集合」なる表現を使う。もう少し正確に言えば、「以下で補集合を使う時には、その全集合はXであるものとする」という略記のための断り書きでだけ、「全集合」なる用語が意味を持つと思う。ここで「その」が指すのは(Xではなく、また補集合として表された集合でもなく)補集合という形の略記、その表記そのものである。だから「Xの全集合」なる表現は出てこない。  そんなわけで、「Xの全集合」ってのにはかなり違和感があります。単にXと言えば足りるのになんで「全集合」と付ける?  さらに、「Xの空集合」ってのは、違和感どころじゃなく、もう誤りだと言っても良いぐらいだと思う。なぜなら、いちいち「Xの」と断らなければ空集合の一意性が言えないんじゃ、それは集合論ではない。外延の公理が泣きます。 > 一般の集合族に対して定義されるものでしょうか?  (圏論じゃないのだから)どんな集合族Xだってそれ自体が集合であることには違いない。なので、その部分集合として必ず空集合が存在する(φ⊂X)し、XとXの部分集合A(A⊂X)との差集合(X\A)を考えたくなったら「補集合」や「全集合」という用語を使っても悪い訳ではないと思いますけど。

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質問者からのお礼

結局、今回の要点は、 > どんな集合Xであれ、「Xの全集合」とはXのこと、「Xの空集合」とはφのこと なのでしょうね。単に「~の空集合」「~の全集合」という言い方が不用意だった というダケの話で… とんだ揚げ足取りをしてしまったようです。反省しました。 末尾三行については、全くその通りなのですが、 Xの部分集合とその演算を考えている時点で、Xそのものではなく Xのベキ集合族を代数系として考察していることになるのだから、やはり > ブール代数でないものの「全集合」を定義することには~ という話になってしまうかと。(反省が足りないでしょうか?) ご回答ありがとうございました。

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