• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

「直積集合の全集合」とは?

別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html を見ていて気になった点についてです。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? 通常、「空集合」や「全集合」は、何らかの集合の ベキ集合族に対して定義される概念かと思います。 一般の集合族に対する「全集合」とは、どのように 定義されるのでしょう? 「集合族Φの全集合」と言ったら、Φ自身のことでしょうか、 それとも、Φの最大元のことでしょうか? ご存知の方、解説よろしくお願いします。 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。 Y と Z の空間としての直積に付随するσ集合族 という意味で 言っているのだとすれば、「直積」は、このΨ×Ωではなく、 Ψ×Ωの任意個の元の和集合全体が成す集合族 になるハズです。 その際、「全集合」が Y×Z であることは違いありませんが… また、A×0 = 0×B = 0 と考えるなら、この式の「×」を 0 と B の集合としての直積と解釈したことになります。 Ψ×Ω = { A×B ; A∈Ψ, B∈Ω } と表記するのならば、 右辺内の A×B は、A と B の対 (A,B) という意図で 標準的でない書き方をしてしまったものと解釈すべきで、 A と B の集合としての直積ではありえません。 その場合、0×B は、Ψ×Ωの元で Y成分が 0、Z成分が B の ものであって、空集合ではありません。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数369
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

 そうかなあ? > 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 > ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている > Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 > ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。  はてさて、かの質問氏はそんなこと書いてましたっけか。引用すると >> σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と >> 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを >> もとに作られているとします。 >> {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) とあります。すなわち、  Ψは集合Yの部分集合を要素とするσ集合体(完全加法族)である。  Ωは集合Zの部分集合を要素とするσ集合体である。  また、A×Bはフツーに読めばYの部分集合AとZの部分集合Bの直積集合 A×B = {<a,b> | a∈A ∧ b∈B} のことでしょう。空集合をφと書くことにすると、ついでながら A×φ = {<a,b> | a∈A ∧ b∈φ} = φ φ×B = {<a,b> | a∈φ ∧ b∈B} = φ です。で、(*)の集合をXと書くことにすれば、 X = {A×B | A∈Ψ ∧ B∈Ω} と、ここまで、特段変なところはないように思われます。  さて、「Xの全集合(全体集合)」だの「Xの空集合」という言い方、実は聞いたことがないんですけれども、ここで考えているもののうちで一番大きそうなのがXなのだから、おそらくXが「Xの全集合」なのでしょう。そしてまた、Xが集合である以上は φ⊂X なのだから、φが「Xの空集合」なんだろうなあと思います。(で、ここまでの話は、集合Xがどうやって出来ているかは全然関係ない。)  ところで、上記のX自身もまたσ集合体になっているんじゃありませんかね?だとすると X = Y×Z となりそうですから、結局「Xの全集合はY×Zで、Xの空集合はφ」ということになるんじゃありません?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

そうですね! 原文をよく読むと、確かに 「Ψ、Ωを使って、直積をとった集合族」とはありますが、 「ΨとΩの直積をとった集合族」とは書いてありません。 (*) の表記のほうを優先すれば、前回 A No.1 のようになる と思われます。空気の読み方が足りなかったようです。 そこで再度、今回の私の質問です。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? それは、一般の集合族に対して定義されるものでしょうか? 「集合族γの全集合」と言ったら、γ自身のことでしょうか、 それとも、γの最大元のことでしょうか? ご回答の、 > おそらくXが「Xの全集合」なのでしょう。 の箇所は、「集合族γの全集合」はγ自身のこと~式、 (*) の「全集合」を Y×Z と結論しているところは、 「集合族γの全集合」はγの最大元~式の考えなので、戸惑います。 私的には、「全集合」というのは、集合計算において 否定を安全に定義するために存在が要請される最大元のこと だと捉えているので、ブール代数でないものの「全集合」を定義 することには、大きな違和感があります。 > 上記のX自身もまたσ集合体になっているんじゃありませんかね? とのことですが、(*) は、σ集合族にはなりません。 何より、加法閉でない。R^2 内の2個の矩形からなる集合を考えてみると 判るかと思います。 ご回答ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 直積集合の空集合と全集合

    σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを もとに作られているとします。 {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) 空集合を0で表記すると、(*)の空集合は0×0、全集合はY×Zと思った のですが、正しいでしょうか。また、0×BやA×0はどう扱うのでしょうか。 Y×BとA×Zは全集合ではないというのはなんとなくわかるのですが…。 よろしくお願いします。

  • 直積集合の作り方について

    こんにちは。 物理学を学んでいる学生ですが数学を独学で勉強中で直積集合の構成について質問があります。 目的は直積集合で座標軸xを構成することとします。 このとき、 ある添数集合N(自然数)を定義し、その元をλとします。(λ=1,2,3,・・・) この時、Nによって添数づけられた集合族 (A)λ∈N を定義しておいて、 この集合族Aを(-λ, λ)としておく。 全ての添数λ(∈N)についての集合族Aの和集合で直積集合を構成することにする。 このとき、Aの和集合で構成される直積集合は(-∞,∞)の集合となりますか? この考え方で座標軸x軸を構成できると思いました。 この考え方は正しいですか? また、間違っているならどこが間違っているか教えてください。 お願いします

  • 集合論 直積集合の定義式

    直積集合の定義を,冪(ベキ)集合を用いているものがあります. 直積集合自体の意味は,たとえば,X×Yで,デカルト平面を想像すればわかります. その定義式は, 集合X,Yについて { (x,y)∈ B(B(U{x,y})):x∈X,y∈Y } ただし,B(・)は,冪集合を表す記号. また,U{・}は,和集合を作る記号で,A U B U C U・・と同じです. 冪集合でまた冪集合を作るような記号らへんのところも特に分かりづらいです.

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

そうでした。 って、いやこれはANo.1のコメントについてです。 > (*) は、σ集合族にはなりません。  仰るとおりです。余計なことを書いて間違えました。(*^^*)  Xはσ集合族にはなりませんし、 X = Y×Z でもない。かくてstomachmanのANo.1は修正が必要で、修正の結果残るのは「どんな集合Xであれ、「Xの全集合」とはXのこと、「Xの空集合」とはφのこと」というアホみたいな話だけです。 > ブール代数でないものの「全集合」を定義することには、大きな違和感があります。 「「全集合」は、集合Xのべき集合2^Xを関係⊂で束と見たときに、その極大元を指す用語として意味を持つ」と考えることもできる。ですがこれを「束2^Xの極大元はXだ」とは言えても「2^Xの全集合はXだ」と言ったらおかしくて、やっぱり「Xの全集合はXだ」としかならない。となると「全集合」なる用語の出番は、ご指摘の通り「補集合」とセットになっているに違いない。  で、「補集合」は、stomachman的にはですね、単なる表記上の略記・便法だと捉えています。すなわち、「補集合」ってのは、差集合をいちいち書くのがめんどくさいから「イツモノヤツからAを除いたもの」という風に略記しただけの、ま、文化的言い回しみたいなもんだと思っている。  その際に「イツモノヤツ」を指すのに「全集合」なる表現を使う。もう少し正確に言えば、「以下で補集合を使う時には、その全集合はXであるものとする」という略記のための断り書きでだけ、「全集合」なる用語が意味を持つと思う。ここで「その」が指すのは(Xではなく、また補集合として表された集合でもなく)補集合という形の略記、その表記そのものである。だから「Xの全集合」なる表現は出てこない。  そんなわけで、「Xの全集合」ってのにはかなり違和感があります。単にXと言えば足りるのになんで「全集合」と付ける?  さらに、「Xの空集合」ってのは、違和感どころじゃなく、もう誤りだと言っても良いぐらいだと思う。なぜなら、いちいち「Xの」と断らなければ空集合の一意性が言えないんじゃ、それは集合論ではない。外延の公理が泣きます。 > 一般の集合族に対して定義されるものでしょうか?  (圏論じゃないのだから)どんな集合族Xだってそれ自体が集合であることには違いない。なので、その部分集合として必ず空集合が存在する(φ⊂X)し、XとXの部分集合A(A⊂X)との差集合(X\A)を考えたくなったら「補集合」や「全集合」という用語を使っても悪い訳ではないと思いますけど。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

結局、今回の要点は、 > どんな集合Xであれ、「Xの全集合」とはXのこと、「Xの空集合」とはφのこと なのでしょうね。単に「~の空集合」「~の全集合」という言い方が不用意だった というダケの話で… とんだ揚げ足取りをしてしまったようです。反省しました。 末尾三行については、全くその通りなのですが、 Xの部分集合とその演算を考えている時点で、Xそのものではなく Xのベキ集合族を代数系として考察していることになるのだから、やはり > ブール代数でないものの「全集合」を定義することには~ という話になってしまうかと。(反省が足りないでしょうか?) ご回答ありがとうございました。

関連するQ&A

  • σ-集合体について

    σ-集合体について (1)Ωは無限集合であるとする。 A={A⊂Ω:AまたはA^cが有限集合か空集合} この集合族Aは集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ。 (2)Ωが有限集合のとき、その部分集合族Aが集合体ならばσ-集合体せあることを示せ。 (3)A,FはΩの部分集合族でA⊂Fとする。また、 A'={A⊂Ω:A^c?A} とする。Fが集合体であればA'⊂Fであることを示せ。 (4) (3)によってA'⊂σ(A)が示されるが、さらにσ(A')=σ(A)を示せ。 この問題が分かりません。 定義や定理は理解できるのですが、活用できません。 解答お願いします。

  • AまたはBが空集合⇔A×B=Φ ???

    実数において、 aまたはbが0 ⇔ ab=0 aかつbが0 ⇔ a^2+b^2=0 だと思います。同様のことを集合において考えたいのですが、 AまたはBが空集合 ⇔ AとBの直積 A×B=Φ でよいのでしょうか?また、 AかつBが空集合 ⇔ AとBの和集合 A∪B=Φ だと思いますが、実数の場合と比べて異なっているので、なんかすっきりしません。 統一的に解釈できないでしょうか?

  • 有限加法族の定義で"φ∈Ω"は不要では?

    宜しくお願い致します。 有限加法族の定義で質問です。 有限加法族の定義は 集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωが (i) φ∈Ω (ii) A∈2^Ω⇒A^c∈2^Ω (iii)A,B∈2^Ω⇒A∪B∈2^Ω の時、2^Ωを有限加法族という。 だと思います。 (i)は 空集合の定義…空集合φは任意の集合の部分集合とする から当然だと思うのですが。。。 集合Ω(≠φ)の集合族2^Ωが (i) A∈2^Ω⇒A^c∈2^Ω (ii)A,B∈2^Ω⇒A∪B∈2^Ω の時、2^Ωを有限加法族という。 だけでOKだと思うのですが如何でしょうか?

  • 何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?

    R^∞はR^ω(R^ωはRの可算個の直積集合)の部分集合でやがて0になる数列{x_n}(有限個の項は非零)全体からなる集合とする時,何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か? 正解はR^∞ の箱位相と直積位相における閉包を夫々A,Bとすると A=R^∞,B=R^ωのようです。 R^ωの直積位相T_pはTをRの通常の位相とすると S:=∪[λ∈Λ]{π_λ^-1(U_λ);U_λ∈T} (Λは可算な添数集合,π_λは射影) とするとこのSはR^ω上の準開基をなし, B:={∩[s∈S']s;S'⊂S,S'は有限集合}はR^ω上の開基をなし、 これから生成される位相T_pは T_p:={∪B';B'⊂B}(={∪[b∈B']b;B'⊂B}の意味)と書ける。 箱位相T_bの定義は B:={Π[λ∈Λ]U_λ;U_λ∈T}と置くとT_b:={∪[b∈B']b;B'⊂B} それでT_p⊂T_bの関係になっていると思います。 ヒントは ∀x=(x_1,x_2,…)∈(R^∞)^cを取り, ε_i=|x_i|/2 (x_i≠0の時),∞(x_i=0の時) とすると V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×… はxの箱位相における近傍でR^∞∩V=φ よってA=R^∞. となっています。∀x=(x_1,x_2,…)が(R^∞)^cの内点になっているのでA=R^∞という事なんでしょうが (0,0,…)はR^∞の元になっていてVの元にもなっていますよね。 したがってR^∞∩V=φは言えないと思うのですが…。 後半についてのヒントは ∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると ある自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vで R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φなのでR^∞∩V≠φである。 よってB=R^ω となっているのですがこれも同様に∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωがR^∞の内点かもしくは境界点になっているのでB=R^ωとなるんだと思います。 xの任意の近傍Vはx∈V∈T_pと書けますよね。 それが{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vとどうしてなるのか分かりません もしV=(-|x_1|-1,|x_1|+1)×(-|x_2|-1,|x_2|+1)×(-|x_3|-1,|x_3|+1)×… とずっとなっている場合は,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと言えませんよね。 どのように解釈したらいいのでしょうか?

  • 位相空間の定義に関する疑問

    位相空間の定義: 集合Sが次の条件を充たす集合族をもつとき「位相空間」とよぶ 1. 空集合と、S自体がその集合族に属する 2. 集合族に属する集合の交わりが集合族に属する 3. 集合族に属する無限個の集合の和集合が集合族に属する というのがありますが、1番目の条件は当然として、2番目と3番目の条件で、どうして2は有限個の集合の交わりで定義され、3だけが無限個の集合の和集合で定義されているのかわかりません。例えば、2の条件を「集合族に属する無限個の集合の交わりが集合族に属する」と書き換えるのはどうしてだめなんでしょうか?(具体的に、ちょうど良い例などが浮かばずに困っています。)

  • 同じ集合住宅のママとの付き合い。。息詰っています

    何度かこちらで相談させていただいております。 アドバイスを頂きその節はありがとうございました。 以前の質問はこちらです。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4773330.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4829522.html 以前の質問を簡単にお話しますと同じ集合住宅に住むママ友から 同じサークル仲間、同じ集合住宅の方へに私の悪口を言われるようになりました。その後私は彼女とは毅然と接しようと心がけ距離をおこうと しましたが、 現在思い詰まってしまったため再度質問させていただきます。 現在は彼女と会うと、私は普通に挨拶をするし、最低限の礼儀は しています。 しかし相手はいきなり、目の前(少しはなれていた所で) 私の悪口??を言うなどかなり傷ついています。 出かけるにも、そのママのいないところを考えて出かけるように とか、出るときに会わないように気にするようになってしまいました。 そして、夫も会社に泊まることが多く週に半分くらいしかいません。 夫は私の性格が気にしすぎだといいます。 毎日育児に追われ、家で話す相手もいず、身近に愚痴をいう相手もいず、 引越しも転勤を考えるとできず八方ふさがりで 自然と涙が出てきます。 どうすればよいか良い知恵があればお教えください。

  • 恋愛アニメ

    最近質問させていただいたのですが、参考になりました先日はありがとうございました(o´-ω-)o) ほとんどみてしまったので、また質問を(´・ω・`) ハーレムエンドではなくきちんとhappyend(クラナドアフタなどを含む)するものやギャク系ラブコメなどのアニメを探しています。できればリンク貼っておきますのでそちら以外を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5360572.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5362830.html

  • 数学の集合について

    先ほどの続きなんですが、この問題も教えてもらえないでしょうか? fを集合Aから集合Bへの写像、A1、A2をAの部分集合とする f(A1∩A2)⊆ f(A1)∩(A2)である事を証明せよ 宜しくお願いします。 関連URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=203408

  • わからない教えてください。位相数学

    http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2672839.htmlで質問したものです。位相数学でわからないことがあります。教えてください 松坂和夫の集合・位相入門(44刷)の第4章についてわかりません。 甲) p152にこんなことが書いてあります。ただ、ここにQに似た文字が出てきて、Qを横にしたものがでてきます。いかこのQをよこ向きにしたものをQと表記します。またфの表記は本当はこれではありません。なんかみたことない記号です。似ているこのфで代用します。φは空集合のきごうです。 Sを一つの空でない集合とする。Sの部分集合系(すなわちф(S)の部分集合系)が次の3条件をみたすとき、QはSにひとつの位相構造を定める。あるいは簡単に、QはSにおける一つの位相であるという。 Oⅰ)S∈Qおよびφ∈Q Oⅱ)Ο1∈Q、Ο2∈QならばΟ1∩Ο2∈Q Oⅲ)(Ολ)λ∈∧ をQの元からなる任意の集合族(すなわち、添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈∧に対してΟλ)とすれば∪Ολ∈Q  と表記されています。なおΟλというのはΟλのλは添え字でちっちゃいです。Ο1も同様に数字は添え字です。正直書いてある意味がわかりません。これは定義だとおもうのですが。考えたのですが、前の質問の ”空でない集合Xの位相Oとはなにか”でXがSに対応して、OがQに対応するんですか? 乙) (S、Q)を一つの位相空間とする。以下これをSと書く。この位相空間の閉集合系をΨとする。 Q∩Ψ={S、φ}であるとき、位相空間Sは連結である。と明記されていますが、これも意味がわかりません。 この二つの事柄について教えてもらえないでしょうか?具体的な事例を示してもらえれば納得できるかも。

  • 画像を使ったアンケートにご協力下さい。

    最近、画像にはまっております。皆様の素晴しい画像を拝借してちょっとしたテストです。 質問は簡単で以下のNEKOGABURIの回答を順々に見て頂いて、この質問の意図が理解できるまでに何枚の画像を見たのかを答えて頂きたい。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4814745.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4814279.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4813877.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4814850.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4814537.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4814457.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4810439.html http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4779535.html 回答は「~枚」って感じで宜しくお願いいたします。 ※解答欄にネタばれはしないでくださいね。多くの人にデフォルトの状態で見て頂きたいもので。