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直積集合の元は必ず集合となる?

度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。 そして、 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。 と記載されているのですが、 これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (A×Bの元<a,b>は2^(2^(A∪B))の元?) でも 通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、 元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

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noname#221368
noname#221368

 そうだったんですか。失礼しました。でも、状況がだいぶわかってきました。最初にブルバキの集合論の構成とさわりをあげておきます。最近はブルバキも見つけにくいので。  ブルバキ集合論の第1章は「形式的数学の記述」です。第2章が、いわゆる公理的「集合論」になります。  第1章では、命題理論と述語理論と等号付理論が、形式体系として導入されます。第2章もそうですが、素朴な考えを一切排除するが、原則です。ただし、素朴な考えがなくても純形式的公理的議論で事は済む事を示してから、対応する素朴集合論などの概念で解釈・説明することは行われます。そうでないと、実際わけわかんないですから。  そこでは対象式は、記号τで始まる記号列であるか、一つの文字だと定義されます。そうでない記号列は関係式です。以前ご紹介したHPのやり方と同じです(このHPは、かなりブルバキに準拠してると思います)。ただブルバキは、コテコテの古典論理なので、強すぎない消去規則や弱すぎない消去規則なんかは出てきませんし、自然推論にも翻訳されず、もっとストレートです。  この段階で問題にしている対象とは、具体的に記述可能で、しかも必要ならば全て目の前に並べてみせられるであろう、有限個の記号列のことです。これをブルバキは、証明や公理不要な素朴な数学的対象と考えています。この中には、自然数全体の集合Nなどは含まれません。Nと書いたら、それはとにかくNで表すことにした、一つの有限個の対象です。有限個だから、頑張れば必ず書いてみせれるというのが、その根拠です。  で、素合ですが、素合は恐らくこのレベルだと思います。これが無限公理導入後に存在が証明される自然数全体を表すα(とてもとても長い関係式)を略記するものとして定義されたNのことだったら、話は違います。この時には、Nには無限個の自然数が詰まっています。しかし素合は、無限公理とペアノの公理系導入以前のものですから、著者の意識は、さっき言ったレベルだと想像できます。もっとも、このような素朴な対象については、公理など立てずに([素合の存在公理])、さっき言った根拠から、あっさり認めてしまうのが普通だとは思いますが、でもそれによって、論旨が明確になると思うのは著者の自由ですし、確かにそういう意味での素合を認めなければ、公理的集合論も展開できないのは事実です。  誤解していたので、#6では生意気な事を書きましたが、今ではそれが的外れだったと思っています。だから言っちゃいます。 (1)素朴集合論がなくても、純形式的・公理的に集合論はつくれる。 (2)でも、素朴集合論の概念で解釈しないと、訳わかんない。

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質問者からのお礼

有難うございます。 じっくり勉強を続けたいと思います。

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  • 回答No.6
noname#221368
noname#221368

 ロジックは素直に読めました。まぁ~、自分にできるのは、これくらいです。なので今回は、感想を書きます。 (1)別に素合を導入してもかまわないのですが(それは自由です)、もし安全を求めるなら、お使いの本の定義や議論に乗っかって進むのが、一番安全に思えます(形式体系を解釈したくなる気持ちはわかります)。 (2)公理1は存在公理です。存在公理の導入は、けっこう危ない気がします。 (3)素合の意味は、素朴な数学的対象の集まりでしょうか?。この中には、自然数全体Nなんかも入っちゃうんでしょうか?。有限個の対象に限るならまだしも、Nなんかも入るなら、やっぱり非常に危ない気がします。気づかぬ内に、パラドクスを招き入れます。カントルの素朴集合論が、まさにそうでした(だから公理的集合論になった)。 (4)話が危なくなってきたので、自分の種本をゲロします。#5の「外延性公理」うんぬん以下の部分は、ブルバキ数学原論の集合論の2章の最初のあたりです。  形式体系を解釈したくなる気持ちはわかります。ある本によると論理学者は、形式体系の中で議論を進めながら、裏では常に形式の意味と解釈を考えているそうです。そうしないと、研究が方向付けれないからです。でもこれは、「プロなればこそ可能」なのだと思えます。

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質問者からのお礼

補足欄にコメント致しました。

質問者からの補足

ご回答大変有難うございます。 > (1)別に素合を : >る気持ちはわかります)。 一応、乗っ取っているつもりなのですが、その本(数学基礎論入門久馬栄道著)では始めに素朴的集合論の話があり、パラドクスの話が入り、素朴的集合論ではダメだということになり、それからいきなり、公理的集合論が始まっているのです。そして、兎に角、素合の存在公理を認めてくれ(でないと公理的集合論の議論ができないから)と読者に断ってから(結局は素朴的集合論の用語・概念も使いながら)公理的集合論がどんどん進んでいます。その後、無限公理、ペアノの公理が紹介されてます。 何度読み返しても最初の一番肝心な部分がなんかごまかされているような気がします。 (無限公理やペアノの公理は公理的集合論の定義どおりにやれば上手くいっている事は分かります) 著者は高校教諭の方みたいですが、本人も本当に公理とか存在とか分かっていらっしゃるのか。それとも他人に説明することが迚も難しいのか私には分かりかねてしまう所です。 素朴集合論では矛盾が生じるから公理的集合論で無いとだめだと言っておきながら結局は素朴的集合論の概念もちょくちょく使って公理的集合論が展開されてます。 素朴的集合論ではダメなのなら、いっそ素朴的集合論には一切、触れずに公理的集合論を論じて欲しいのですが。そんな事は不可能なのでしょうか? ただ、分かったことは公理的集合論でないとダメだで公理的集合論の集合とは{x∈a;C(x)}の形をした素合らしいという事が分かっただけです。 やっぱり素合を使わないと公理的集合論は論じれないんですかね。 > (2)公理1は存在公理です。存在公理の導入は、けっこう危ない気がします。 私も強引だなとは思いました。 > (3)素合の意味は、素朴な数学的対象の集まりでしょうか?。 そうですね。"集まり"とは何ぞやと聞かれてもこの本には厳密な説明は無いですが、、 > この中には、自然数全体Nなんかも入っちゃうんでしょうか?。 公理的集合論についての序文の後にペアノ公理でNが入っちゃうように記述されてます。 > 有限個の対象に限るならまだしも、 > Nなんかも入るなら、やっぱり非常に危ない気がします。 > 気づかぬ内に、パラドクスを招き入れます。カントルの素朴集合論が、 > まさにそうでした(だから公理的集合論になった)。 そうですね。 > ブルバキ数学原論の集合論の2章の最初のあたりです。 ご紹介有難うございます。探してみたいと思います。

  • 回答No.5
noname#221368
noname#221368

>「a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ」 が重要だったのですね。またまた怠慢な読み方をしてました。ご質問の趣旨がやっとわかりました。 >厳密な議論をする場合「a,bをそれぞれある集合の元として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ」だと、何かまずい事態になるのか?  まず<a,b>:={{a},{a,b}}のa,bを集合の元とするのか、集合とする方が安全なのか?ですが、言い方は不適切かもしれませんが、それはその本の著者の趣味だと思います。つまり、その本の議論の進め方によると思います。  例えばその本が、全てを集合の世界に帰着させようという態度で書かれているならば、#1さんの言うように、使用可能な対象は結局全て集合になるので、a,bを集合として<a,b>を定義するやり方が、最も一般的で(効率良くて)安全な定義になります。これが、#2さんの、 >公理的集合論では、全ての数学的対象は集合と考えます。だから直積集合のaもbも集合と言っているに過ぎません。 の意味だと思います。自分も少し公理論的集合論をかじっていますが、a,bが集合であるかどうかに関わらず、定義する方法もあります。それは「外延性公理」と「分出と合併のシェマ」と「要素が2個の集合の存在公理」を認める事により、とにかくa,bが対象であれば、<a,b>は集合になる事が保証され、ラッセルのパラドクスなどは出なくなります。この方向なら、怠慢な読み方もお墨付きです。 >えー!!、R×R∋(√2,1/2)の√2や1/2は集合だったの!?  もっともな感覚だと思います。x-y平面の点が集合だとは思えませんよね。ただ集合論的方向で順序対を定義しようとすると、その集合論的な意味と、集合論全般に通じるある種の即物性から、{{x},{x,y}}の事だと解釈され、定義されるだけです。何故これでみんな納得するかというと、(x,y)と{{x},{x,y}}との順序対としての機能が同等だからです。

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質問者からのお礼

> 最も一般的で(効率良くて)安全な定義になります。これが、#2さんの、 > >公理的集合論では、全ての数学的対象は集合と考えます。 > だから直積集合のaもbも集合と言っているに過ぎません。 有難うございます。大変参考になります。 本音は最も安全な定義を求めております。 、、、という事で自分なりに考えみました。 数学での対象物を"素朴的集合論集合(略して「素合」と呼ぶ事にする)"と呼ぶ。そして、 [公理1] 必ず、素合は存在する。 そして、素合の集まりを「'それら素合'の素合」と呼ぶ。 そして、その'それら素合の素合'を構成している素合を「'それら素合の素合'の元」と呼ぶ。 表記の仕方としては、Aを素合、Bを'素合Aの素合'の時、A∈Bと書いてAはBの元であると言ったりする。 そして、 [定義1] A,Bを素合とし、∀x∈A,x∈Bの時、A⊂Bと書き、「AはBの部分集合」という。 [命題1] 部分集合は必ず存在する。 (∵[公理1]より∃A:素合なのでBとしてAと採れ) [定義2] A,Bを素合とし、(A⊂B)∧(A⊃B)の時、A=Bと書き、「AとBは等しい」という。 [公理2] Aを素合とし、条件C(x)を満たすx∈Aの部分集合を{x∈A;C(x)}と表記(分出公理)する。そして{x∈A;C(x)}の形の素合を「集合」と呼ぶ。 [命題2] 集合は必ず存在する。 (∵[公理1]より∃A:素合なので{x∈A;x=x}と書ける) [公理3] Aを素合とし、{x∈A;(x=x)でない}という集合を「空集合」と呼びφと表記する(空集合の公理)。 [命題3] A,Bを集合とし、∀x∈A,x∈Bの時、「AはBの部分集合」と言える。 (∵[定義1]から明らか) [命題4] A,Bを集合とし、(A⊂B)∧(A⊃B)の時、A=Bである。 (∵A,Bは素合でもあるので[定義2]) [公理4] A,Bを集合とする時、{A,B}は集合である(対集合の公理)。 [命題5] Aを集合とする時、{A}も集合である。 (∵[公理3]から{A,A}が集合なので[命題4]から) : という具合にして集合を考えたのですがいかがでしょうか? 間違いがありましたらご指摘いただければ幸いです。

  • 回答No.4
noname#221368
noname#221368

 普段はここまで注意して数学書を読んでいないので、この疑問は新鮮でした。  まず#1さん,#2さんの仰っていることは全く正しいのですが、次のような怠慢な読み方も可能ではあります。   A×Bは集合の集合である。しかしAやBの要素は、集合でもそうでなくても、どちらでも良い。  恐らくですがYYoshikawaさんは、<a,b>={{a},{a,b}}を見たとき、   A={{a},{a'},・・・},B={{b},{b'},・・・} でなければならない、というようなイメージが浮かんだのではないかと想像しました。そうではありません。   A={a,a',・・・},B={b,b',・・・} でも<a,b>の作成(ここが重要です)は可能です。要は、Aからa,Bからbを選んだ時に、a,bの順序で順序対<a,b>∈A×Bが決まれば良いだけだというのが、<a,b>={{a},{a,b}}の趣旨です。実際a∈Aとb∈Bを指定した時点で、この定義によりa,bはa,bの順序に並びます。同語反復っぽくてわかりにくいですが、集合論にはprojection(射影)と呼ばれる、これとは反対の操作があります。それを関数pr_Aとかで表し、   pr_A(<a,b>)=a となります。要は、集合の集合<a,b>から、それの材料aを取得するという関数です。圏論ではprojectionの逆の操作を表す関数をまさに用意し、その関数が<a,b>={{a},{a,b}}のかわりになっていた気がします。関数なので、その定義域AやBの要素、aやbは「集合であろうがなかろうが、知った事か!」です。  余談ですが、 >aを要素した時,どうやってこれを集合にさせれるのか? については、   aと{a}(← 同じじゃん!) というのが、私のいい加減な感覚です(もちろん厳密には違います)。

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ご回答有難うございます。 > A×Bは集合の集合である。しかしAやBの要素は、 > 集合でもそうでなくても、どちらでも良い。 怠慢な読み方しなかったら 非集合の場合は順序対の定義ができませんよね。 > 恐らくですがYYoshikawaさんは、<a,b>={{a},{a,b}}を見たとき、 > A={{a},{a'},・・・},B={{b},{b'},・・・} > でなければならない、というようなイメージが浮かんだのでは > ないかと想像しました。そうではありません。 うーん、そうではありません。 「a,bをそれぞれある集合の元として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。」 なら納得したのですが 「a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。」となっていたので、 えー!!、R×R∋(√2,1/2)の√2や1/2は集合だったの!? と驚いてしまったのです。 厳密な議論をする場合、 「a,bをそれぞれある集合の元として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。」 という定義だと何かまずい事が発生するのでしょうか?

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

集合を要素とする集合を許してくれないと, ベキ集合が作れないんですけど....

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質問者からのお礼

ご回答有難うございます。 集合を要素にするのは別に疑問に思いません。 (Aを集合とすると{A}とすればAは要素にさせる事ができますよね) 要素を集合にできる事が疑問に思っているのです。 (aを要素した時,どうやってこれを集合にさせれるのか分からないのです)

  • 回答No.2
  • ONB
  • ベストアンサー率38% (8/21)

公理的集合論では、全ての数学的対象は集合と考えます。だから直積集合のaもbも集合と言っているに過ぎません。なので、 >元は集合にも成りうるのでしょうか? の答えとしては、公理的集合論の立場ではなんらかの集合の元は例外なく集合です。 集合を元とする集合、というと特別なもののように思えますが、どんな集合も、集合を元とする集合です。 このような見地から、 >実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか? に関しては、まったくそのとおりです。√2 や 1/2 も集合です。 ただ、普通の数学をやる上では、普段はこのようなものは集合とは思っていませんが、公理的集合論まで戻れば、定義する際になんらかの集合として定義されます。 全ての質問に答えてはいませんし部分的な答えになりますが、基礎論に不案内なのでこのくらいにしておきます。

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有難うございます。 じっくり勉強を続けたいと思います。

  • 回答No.1
  • koko_u
  • ベストアンサー率12% (14/116)

我々はこれまで集合A, B から作成される「対」(a, b) a ∈ A b ∈ B や、部分集合の集合 { U | U ⊆ A }などを安易に考えてきた。(19世紀くらいまで) しかし、そんなにポンポン集合の集合やらを無尽蔵に考えだすと途端に矛盾にぶつかることが発覚。(カントールのパラドックス!) その反省として、注意深く「集合とは何ぞ?」を追及したのが数学基礎論というか公理的集合論。 そこでは始めは空集合から始まって、少数の公理をもって世界を再構築しようという禅問答のような論理が展開しているのです。 しかし、結局の所これまで考えてきた「対の集り」としての直積集合などは問題なく理論展開可能だとわかったので、数学基礎論以外の分野では面倒なので「対」の定義にまで遡ることなく、実数は云々の理論を展開しています。 選択公理などは知らない内に前提として使われたりするので代数学などでもたまにお目にかかります。

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