• 締切済み
  • すぐに回答を!

集合論の直積

集合論の直積でつまずいています.和集合などはベン図に描いて理解しやすいのですが,直積に関してはイメージも沸かず,困っています. 以下は,○か×かどちらになるかの理由を考えていますが,解らない状態です.どなたか集合論にお強い方,お知恵を拝借させてください. 1.(Π_[i∈N]Ai)^c=Π_[i∈N](Ai)^c 2.A*(∪_[i∈N]Bi)=∪_[i∈N](A*Bi) 3.A^c*B^c*C^c⊂(A*B*C)^c 4.任意のi∈NについてAi⊂Biであれば,Π_[i∈N]Ai⊂Π_[i∈N]Bi 5.Π_[i∈N]Ai=φ⇒∀i∈N,Ai=φ

共感・応援の気持ちを伝えよう!

みんなの回答

  • 回答No.2
  • take008
  • ベストアンサー率46% (58/126)

直積のイメージを沸かせましょう。 A,Bが実数Rの集合,それも区間だとします。 A={x|a<x<c},B={y|b<y<d} すると, A×B={(x,y)|a<x<c, b<y<d} は長方形です。 ご質問の問題は,多数の直積や和集合についてですが, まず2つの集合,それも実数の区間,の場合を考えてみましょう。 それで○か×かわかったら,一般の場合を考えればいいでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました.集合の数を少なくした場合で考えて,一般化への理解につなげていく.とてもためになりました.

  • 回答No.1

一般に、集合Aと集合Bがあるとき、A×B≠B×Aです。 (ただし、例外的に圏論などで集合間の関係のみに 着目して、元には言及しない場合にはその限りでは ないこともあるそうです。) 直積は一部の例外を除いて可換ではありません。 要するに、直積の順序が変わると別物になるわけ ですから、1、2、3についてはすぐに答がでると 思いますが、いかがでしょうか。 4については、 Π_[i∈N]AiからAiをとるi成分への射影piを考えると いいのではないかと思います。 いま、ai∈Ai、bi∈Biとして、 Π_[i∈N]Ai⊂Π_[i∈N]Biでなかったとしたら、 ある(a1,a2,...,an)∈Π_[i∈N]Aiで (a1,a2,...,an)∈Π_[i∈N]Biでないものが 存在することになるので、ある成分jについて pj(a1,a2,...,an)=ajが、pj(Π_[i∈N]Bi)=Bjに 含まれないようなものが存在することになります。 このことから4は○ということになるのではないかと 思います。 5は、Π_[i∈N]φをφと書くことにするという前提 ですすめますが、あるAiがφでなかったとしたら、 4と同様に成分の射影を考えると、直積の成分が 違うなら直積全体も違うものなので、 Π_[i∈N]Ai≠Π_[i∈N]φとなるのだと思います。 よって、5も○ではないかと思います。 私の理解では、直積とは各成分の集合の総当りの ことなので、例えば二つの集合の直積ならエクセルなどの 表のセルのように平面上に整然と並ぶようになります。 そして、三つ以上の集合の直積は、二つづつの直積の 積み重ねに分解できるので(うえで述べたように可換では ないですが、しかし結合的です)、基本は二つの直積です。 よって直積どうしの比較とは、平面の比較という ことになるわけなので、そのようにイメージすると 考えやすいのではないでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

エクセルの表を使った集合の直積の理解,なるほどと感激しました. ありがとうございました!

関連するQ&A

  • 集合について

    任意の集合A1, A2, …, An, B1,B2, …, Bnに対して、 Ai⊂Bi (i=1,2, …,n)ならば、その直積集合で、 A1×A2×…×An⊂B1×B2×…×Bnが成り立つ は正しいですか?

  • 直積集合の作り方について

    こんにちは。 物理学を学んでいる学生ですが数学を独学で勉強中で直積集合の構成について質問があります。 目的は直積集合で座標軸xを構成することとします。 このとき、 ある添数集合N(自然数)を定義し、その元をλとします。(λ=1,2,3,・・・) この時、Nによって添数づけられた集合族 (A)λ∈N を定義しておいて、 この集合族Aを(-λ, λ)としておく。 全ての添数λ(∈N)についての集合族Aの和集合で直積集合を構成することにする。 このとき、Aの和集合で構成される直積集合は(-∞,∞)の集合となりますか? この考え方で座標軸x軸を構成できると思いました。 この考え方は正しいですか? また、間違っているならどこが間違っているか教えてください。 お願いします

  • 「直積集合の全集合」とは?

    別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html を見ていて気になった点についてです。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? 通常、「空集合」や「全集合」は、何らかの集合の ベキ集合族に対して定義される概念かと思います。 一般の集合族に対する「全集合」とは、どのように 定義されるのでしょう? 「集合族Φの全集合」と言ったら、Φ自身のことでしょうか、 それとも、Φの最大元のことでしょうか? ご存知の方、解説よろしくお願いします。 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。 Y と Z の空間としての直積に付随するσ集合族 という意味で 言っているのだとすれば、「直積」は、このΨ×Ωではなく、 Ψ×Ωの任意個の元の和集合全体が成す集合族 になるハズです。 その際、「全集合」が Y×Z であることは違いありませんが… また、A×0 = 0×B = 0 と考えるなら、この式の「×」を 0 と B の集合としての直積と解釈したことになります。 Ψ×Ω = { A×B ; A∈Ψ, B∈Ω } と表記するのならば、 右辺内の A×B は、A と B の対 (A,B) という意図で 標準的でない書き方をしてしまったものと解釈すべきで、 A と B の集合としての直積ではありえません。 その場合、0×B は、Ψ×Ωの元で Y成分が 0、Z成分が B の ものであって、空集合ではありません。

  • 集合論 直積集合の定義式

    直積集合の定義を,冪(ベキ)集合を用いているものがあります. 直積集合自体の意味は,たとえば,X×Yで,デカルト平面を想像すればわかります. その定義式は, 集合X,Yについて { (x,y)∈ B(B(U{x,y})):x∈X,y∈Y } ただし,B(・)は,冪集合を表す記号. また,U{・}は,和集合を作る記号で,A U B U C U・・と同じです. 冪集合でまた冪集合を作るような記号らへんのところも特に分かりづらいです.

  • 直積集合の元は必ず集合となる?

    度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。 そして、 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。 と記載されているのですが、 これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (A×Bの元<a,b>は2^(2^(A∪B))の元?) でも 通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、 元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

  • 直積集合について質問です

    直積集合について質問です。 直積集合を定義することによってどのような利点が生まれるのですか? また集合Aと集合Bの直積集合において、集合Aの部分集合fを要素と考えて集合Bの要素と部分集合fを組にすることは可能ですか?

  • 数学 集合と直積の問題について

    数学にて集合についての問題です。 次が成り立つことを示せ。 (1) A×(B U C) = (A × B)U(A × C) (2) (A n C) × C = (A × C) n (B × C) A,B,Cは任意の集合 証明をすれと言われても何をどうすればいいのかさっぱりです。 できれば説明をつけてお願いします。

  • 確率論

    (Ω,P) を確率空間とする (1) 分割 Ω=∪[i=1,n] Bi, Bi∩Bj=空集合 (i≠j)があるとする。   このとき、任意の部分集合A⊂Ωに対して  P(A)=Σ[i=1,n] P(A|Bi)P(Bi)  が成立することを証明せよ。 (2) C,D ⊂Ω がP(C)>0、P(D)>0を満たすと仮定する。    このとき任意のA⊂Ω において    Pc(A|D)=P(A|C∩D) が成立することを証明せよ。 という問題で、(1)は感覚的には合っているというのが分かりますが、 数学的な証明が分かりません。 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) という式を利用したらよいのでしょうか? (2)に関しては全く分からず、何故、P(C)、P(D)を >0 と仮定する 必要があるのでしょうか。 Pが確率であるなら必ず>0になるのではないのでしょうか??

  • 直積集合の証明問題

    A×B、C×Dは直積集合をして、 (A×BがC×Dの部分集合) ⇔ (AはCの部分集合、かつBはDの部分集合) という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、 逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。 どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

  • 直積集合の空集合と全集合

    σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを もとに作られているとします。 {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) 空集合を0で表記すると、(*)の空集合は0×0、全集合はY×Zと思った のですが、正しいでしょうか。また、0×BやA×0はどう扱うのでしょうか。 Y×BとA×Zは全集合ではないというのはなんとなくわかるのですが…。 よろしくお願いします。