• ベストアンサー
  • 困ってます

直積集合について質問です

直積集合について質問です。 直積集合を定義することによってどのような利点が生まれるのですか? また集合Aと集合Bの直積集合において、集合Aの部分集合fを要素と考えて集合Bの要素と部分集合fを組にすることは可能ですか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数259
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

 AとBの直積集合A×B = {<a,b>|a∈A ∧ b∈B}は、「Aの要素とBの要素の対(つい、pair)<a.b>の全体」ってことですから、「AとBの対応」のありかた全部を含んでいる。まず全部A×Bを用意しておいて、その中から、目的に応じて適切な性質を持つ要素だけを集めて集合を作ることもできます。これは、いろんな集合同士を関連づけるためのキホンとなる仕組みです。  たとえばAからBへの関数fは、A×Bの部分集合にほかなりません。Aが整数、Bが自然数のときに、   f(x) = x^2 という関数を考えると、その実体は   f = {…,<-2,4>,<-1,1>,<0,0>,<1,1>,<2,4>,…} であって、もちろん f⊂A×B である。  また、人の集合をX、住所の集合をA、年月日の集合をBとして、人xからその人の住所a(x)と生年月日b(x)を引き出すデータベースdは XからA×Bへの関数 d(x) = <a(x), b(x)> だと考えることができますね。d⊂X×A×Bです。 > 集合Aの部分集合fを要素と考えて集合Bの要素と部分集合fを組にする  それを素直にやるには、Aのべき集合(部分集合の全体) 2^A ={x | x⊂A} を使って(2^A)×Bを考えりゃいいですね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

すいません、お礼が遅くなってしまいました。 詳しい回答有難うございます。

関連するQ&A

  • 直積集合の証明問題

    A×B、C×Dは直積集合をして、 (A×BがC×Dの部分集合) ⇔ (AはCの部分集合、かつBはDの部分集合) という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、 逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。 どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

  • 直積と関数について

    選択公理の解説などにおいて直積の定義がありますが、 ΠSλ(λ∈Λ)={f|f:Λ→∪Sλ fλ∈Sλ} とするのが多いと思います。(つまりΛから∪Sλへの関数の内、ある条件を満たすもの全体) しかし、私は関数というのは二項関係などと同じように直積の部分集合として定義されるものと考えていました。(上の例では、fはΛ×∪Sλの部分集合) そのため、関数と直積をどちらから定義すればよいのか混乱しています。 おそらく、原因は私が、純集合論的な立場から直積、関数も一つの集合として定義しようとしているにもかかわらず、集合の記法を厳密に決めていないため(一階述語論理の言語と=、∈以外のものを勝手に使用している)だと感じるのですが、この理解自体どこかおかしなところがあるでしょうか? また、見通しのよい考え方、捉え方等教えていただければ幸いです。この方面に詳しい方々、時間に余裕があればお答えください、よろしくお願いします。

  • 直積集合の元は必ず集合となる?

    度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。 そして、 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。 と記載されているのですが、 これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (A×Bの元<a,b>は2^(2^(A∪B))の元?) でも 通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、 元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

Bの元を、要素ではなく、単元集合と考えると、 直積 f×{b} は、A×B の部分集合(元ではなく) にはなっている。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

すいません、お礼が遅くなってしまいました。 返答ありがとうございます。

  • 回答No.1
  • konbu7
  • ベストアンサー率50% (1/2)

直積集合を定義することによって得られるメリットは たとえば、群という概念を学ぶと 加法群R×R(つまりユークリッド平面)と加法群C(複素数)が同型である、 つまり、平面で成り立つことは、複素数でも成り立つという根拠がわかったりします。 直積集合によって、数の表現方法が増える、ということが利点といえるでしょう。 また後半の質問ですが、 集合と要素は別の概念なので、無理といえるでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返答ありがとうございます。 宜しければ要素と集合の概念の違いと、後半の部分で部分集合の場合どういった不具合が起こるのかも教えて下さい。

関連するQ&A

  • 直積位相定義が2個の直積の場合に合致してるか?

    直積位相の定義についての質問です。 [定義ア]位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λ(Λは任意の添数集合))と射影fが与えられていて,直積集合P:=ΠX_λとおく。 この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。 次に和集合B:=∪S_λと置き, この時,このBから生成される位相{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U} を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。 が直積位相の定義だと思います。 [定義イ]2個の直積(X_1,T_1)×(X_2,T_2)の場合の直積位相は{∪[g∈G]g ;G⊂T_1×T_2}と載ってました。 [定義ウ]集合Xの部分集合族Bが以下の条件を満たすときBをXの開基という (1)BはXを被覆する (2)任意のb1,b2∈Bおよび任意のx∈b1∩b2に対して、あるb∈Bが存在して、x∈b⊂b1∩b2となる。 [定義エ] Bを集合Xの開基とする時,{U∈2^X;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}をBによって生成される位相という。 そこで定義アの直積位相定義が2個の直積の場合に定義イと合致してるか調べています。 まずS_1={f_1^-1(t_1);t_1∈T_1},S_2={f_2^-1(t_2);t_2∈T_2}でB:=S_1∪S_2と置く。 そしてこのBによって生成される位相は{U∈2^(X_1×X_2);∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}:=L これが{∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2}:=Mに一致してるか吟味してみます。 (i) L⊂Mを示す。 ∀U∈Lを採ると,∀x∈Uに対してx∈b⊂Uなるb∈Bが存在する。 Bの定義よりb={f_1^-1(t_1),f_2^-1(t_2)}という集合になっています。 そこで結局の所,Uは常にbを含んでいなければならない訳ですからU=∪[b∈B']b (但しB'⊂B)…(1)となっていますよね。 所でBの元達はというとB:=S_1∪S_2な訳ですから(1)は U={(t_1×x_2)∪(x_1×t_2);x_1⊂X_1,x_2⊂X_2}という形になってますよね。 ここでx_1やx_2は必ずしもT_1やT_2の元とは限らないわけですよね。 なのでこのUは∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2には含まれませんよね。 どうすればLとMが合致しますでしょうか? それとも直積位相は2個の直積集合の場合と3個以上の直積集合の場合とでのそれぞれ直積位相の概念は異なるのでしょうか?

  • 「直積集合の全集合」とは?

    別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html を見ていて気になった点についてです。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? 通常、「空集合」や「全集合」は、何らかの集合の ベキ集合族に対して定義される概念かと思います。 一般の集合族に対する「全集合」とは、どのように 定義されるのでしょう? 「集合族Φの全集合」と言ったら、Φ自身のことでしょうか、 それとも、Φの最大元のことでしょうか? ご存知の方、解説よろしくお願いします。 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。 Y と Z の空間としての直積に付随するσ集合族 という意味で 言っているのだとすれば、「直積」は、このΨ×Ωではなく、 Ψ×Ωの任意個の元の和集合全体が成す集合族 になるハズです。 その際、「全集合」が Y×Z であることは違いありませんが… また、A×0 = 0×B = 0 と考えるなら、この式の「×」を 0 と B の集合としての直積と解釈したことになります。 Ψ×Ω = { A×B ; A∈Ψ, B∈Ω } と表記するのならば、 右辺内の A×B は、A と B の対 (A,B) という意図で 標準的でない書き方をしてしまったものと解釈すべきで、 A と B の集合としての直積ではありえません。 その場合、0×B は、Ψ×Ωの元で Y成分が 0、Z成分が B の ものであって、空集合ではありません。

  • 直積集合の作り方について

    こんにちは。 物理学を学んでいる学生ですが数学を独学で勉強中で直積集合の構成について質問があります。 目的は直積集合で座標軸xを構成することとします。 このとき、 ある添数集合N(自然数)を定義し、その元をλとします。(λ=1,2,3,・・・) この時、Nによって添数づけられた集合族 (A)λ∈N を定義しておいて、 この集合族Aを(-λ, λ)としておく。 全ての添数λ(∈N)についての集合族Aの和集合で直積集合を構成することにする。 このとき、Aの和集合で構成される直積集合は(-∞,∞)の集合となりますか? この考え方で座標軸x軸を構成できると思いました。 この考え方は正しいですか? また、間違っているならどこが間違っているか教えてください。 お願いします

  • 直積の証明問題です。大学の数学のわかる方お願いします

    直積の証明問題です。大学の数学です。 Xの部分集合{A;λ∈∧} {B:μ∈M}について (∩{A:λ∈∧}×(∩{B:μ∈M})=∩{A×B:<λ、μ>∈∧×M} を証明せよ という問題が解けずこまっています。よろしくお願いします 要素が含まれることを書けばいいと思うのですが、どう書けばいいのか わかりません。

  • 集合論 直積集合の定義式

    直積集合の定義を,冪(ベキ)集合を用いているものがあります. 直積集合自体の意味は,たとえば,X×Yで,デカルト平面を想像すればわかります. その定義式は, 集合X,Yについて { (x,y)∈ B(B(U{x,y})):x∈X,y∈Y } ただし,B(・)は,冪集合を表す記号. また,U{・}は,和集合を作る記号で,A U B U C U・・と同じです. 冪集合でまた冪集合を作るような記号らへんのところも特に分かりづらいです.

  • 集合の問題

    次の問題の解答をお願いします。 S={a,b,{a,b}}で、以下の関係が成り立つ場合は○、成り立たない場合は×を記入せよ。 (1){a,b}はSの部分集合である (2)aはSのべき集合の要素である (3)φはSの要素である (4){{a,b}}はSのべき集合の要素である (5){a,{b}}はSのべき集合の部分集合である (6){a,b}はSのべき集合の部分集合である (7){a,b}はSのべき集合の要素である (8)aはSの部分集合である (9)φはSのべき集合の部分集合である (10)φはSのべき集合の要素である (11){φ,{a}}はSの部分集合である (12){{a},{b}}はSのべき集合の要素である

  • 集合の問題です。

    直積集合の問題です。 次の命題を証明したいのですが…教えてください!! 命題:AをXの部分集合、BをYの部分集合とすれば、等式 (X×Y)-(A×B)=((X-A)×Y)∪(X×(Y-B)) が成り立つ。 この証明をしてください。お願いします!!

  • 情報数学 直積と関係

    大学でコンピュータの基礎となる情報数学を学んでいる者です 教授はただプリントに書いてある定義を述べるだけで、結局どういうものなのか、またどういう捉え方をしておけばよいのかを教えてくれません。 「直積とはA,Bを集合とするとき、C=A×B={(x,y)x∈A、y∈B}」 としか書いてありません。直積とはどういう概念なんでしょうか? 「直積の部分集合Rを関係Rという。」「(a,b)∈RをaRbと書く。」 なども記号の使い方(a,b)∈Rがよく分りません。 どういった形でこれらのことを頭に入れておけば良いのか、是非回答をお願いします。 もしできればこういった事を分かりやすく説明してくれる教科書、参考書等があれば教えていただけるとうれしいです<m(__)m>

  • 部分集合

     部分集合の個数の問題です。    「Aが3個の要素からなるとき、Aの部分集合は何個か」この場合は数が小さいので、{1}{2}{3}{1,2}というように、部分集合を一つ一つ数えてゆくとわかるのですが、要素の数が増えるとお手上げです。  回答を見たところ、「各要素が部分集合に属すかどうかで、2^3=8通り」とありました。ということは、例えば要素が10個ならば、部分集合の数は2^10通りということですよね・・・・・  上記の「」内の回答をわかりやすくかみ砕いて貰えませんか。よろしくお願いします

  • 集合の問題

    10個の要素をもつ集合Aの部分集合の総数と、Aの2個の指定の要素を含むAの部分集合の総数を求めるという問題です。誰か解き方を教えてください。