直積集合について質問です

質問

直積集合について質問です。
直積集合を定義することによってどのような利点が生まれるのですか？
また集合Aと集合Bの直積集合において、集合Aの部分集合fを要素と考えて集合Bの要素と部分集合fを組にすることは可能ですか？

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

AとBの直積集合A×B = {<a,b>|a∈A ∧ b∈B}は、「Aの要素とBの要素の対（つい、pair）<a.b>の全体」ってことですから、「AとBの対応」のありかた全部を含んでいる。まず全部A×Bを用意しておいて、その中から、目的に応じて適切な性質を持つ要素だけを集めて集合を作ることもできます。これは、いろんな集合同士を関連づけるためのキホンとなる仕組みです。
　たとえばAからBへの関数fは、A×Bの部分集合にほかなりません。Aが整数、Bが自然数のときに、
　　f(x) = x^2
という関数を考えると、その実体は
　　f = {…,<-2,4>,<-1,1>,<0,0>,<1,1>,<2,4>,…}
であって、もちろん f⊂A×B である。
　また、人の集合をX、住所の集合をA、年月日の集合をBとして、人xからその人の住所a(x)と生年月日b(x)を引き出すデータベースdは XからA×Bへの関数 d(x) = <a(x), b(x)> だと考えることができますね。d⊂X×A×Bです。

> 集合Aの部分集合fを要素と考えて集合Bの要素と部分集合fを組にする

　それを素直にやるには、Aのべき集合(部分集合の全体) 2^A ={x | x⊂A} を使って(2^A)×Bを考えりゃいいですね。

お礼

すいません、お礼が遅くなってしまいました。
詳しい回答有難うございます。

回答No.2

alice_44

Bの元を、要素ではなく、単元集合と考えると、
直積 f×{b} は、A×B の部分集合(元ではなく)
にはなっている。

お礼

すいません、お礼が遅くなってしまいました。
返答ありがとうございます。

回答No.1

konbu7

直積集合を定義することによって得られるメリットは
たとえば、群という概念を学ぶと
加法群R×R（つまりユークリッド平面）と加法群C（複素数）が同型である、
つまり、平面で成り立つことは、複素数でも成り立つという根拠がわかったりします。

直積集合によって、数の表現方法が増える、ということが利点といえるでしょう。

また後半の質問ですが、
集合と要素は別の概念なので、無理といえるでしょう。

お礼

返答ありがとうございます。

宜しければ要素と集合の概念の違いと、後半の部分で部分集合の場合どういった不具合が起こるのかも教えて下さい。