情報数学 直積と関係

質問

大学でコンピュータの基礎となる情報数学を学んでいる者です
教授はただプリントに書いてある定義を述べるだけで、結局どういうものなのか、またどういう捉え方をしておけばよいのかを教えてくれません。
「直積とはA,Bを集合とするとき、C＝A×B＝｛（x,y）x∈A、y∈B}」
としか書いてありません。直積とはどういう概念なんでしょうか？

「直積の部分集合Rを関係Rという。」「(a,b)∈RをaRbと書く。」
なども記号の使い方(a,b)∈Rがよく分りません。

どういった形でこれらのことを頭に入れておけば良いのか、是非回答をお願いします。
もしできればこういった事を分かりやすく説明してくれる教科書、参考書等があれば教えていただけるとうれしいです<m(__)m>

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>教授はただプリントに書いてある定義を述べるだけで、結局どういうものなのか、またどういう捉え方をしておけばよいのかを教えてくれません。

なぜ先生に聞かないのですか？そういわないのですか？
聞けば教えてくれますし，
もし教えてくれないならば問題なので，
そのときはしかるべき行動をしましょう．
大学は高校までとは違います．
「学びたい人間が自分で学ぶ」というのが
（建前上かしれませんが）大前提ですので，
高校や予備校のように手取り足取りではありません．

>「直積とはA,Bを集合とするとき、C＝A×B＝｛（x,y）| x∈A、y∈B}」
これはそのままです．
二つの集合の要素をペアにしたものを直積というだけです．
一番簡単な例は「座標平面」．直線と直線の直積が平面です．
まさに座標そのものでしょう？

>「直積の部分集合Rを関係Rという。」「(a,b)∈RをaRbと書く。」
>なども記号の使い方(a,b)∈Rがよく分りません。
これは確かに最初は分かりにくいですが
そう思ったら先生にその場で聞くんです．

例えば，平面で考えます．
平面の部分集合として「45度の直線 y=x」を考えます．
このとき「45度の直線 y=x」という部分集合Rは
R={(x,y) | y=x}
と表現できます．
ここで，「点(a,b)が45度の直線 y=x 上にある」というのは
aとbで表わすと a=b と表現できます．
すなわち，
「平面の部分集合R」というのは，
「座標(a,b)が満たす何かの関係で定義されている」
ので，
平面の部分集合そのものを (a,b) と表現したときの
aとbの「関係」と表現することができるのです．
「45度の直線y=x」の例でいえば
二つの数a，bについて
「a=bという関係」は「座標(a,b)でa=b」と同じで，
「座標(a,b)でa=b」は
「座標平面でy=xという直線」と同じということです．
すなわち，「a=b」は「45度の直線」なのです．

これを逆手にとると
部分集合そのものを「関係」と定義し，
その部分集合に属していること（(a,b)∈R）が
「関係がある」となり
それを見やすいように aRb と「R」が「=」や「＞」などのような
関係を表わすよく使う記号のように書いているのです．

分かりにくかったら自分で例を作ってみましょう
例えば，
a>b に相当する「部分集合R」を作ってみましょう
「aとbが等しくない」に相当する部分集合Rは？
理解できればこれが単に，高校数学の
「図形と方程式」とか「領域」の話の
言い換えと拡張であるいことが分かります．

お礼

授業中はなんとか理解できたと思っていたんですが、忘れてしまって…(笑)次回までに一通り理解したいと考えて質問させてもらったんです
でも回答ありがとうございます、よく理解できました

回答No.1

koko_u_

>直積とはどういう概念なんでしょうか？
まんま、ペアということ。

男の集合Ａと女の集合Ｂがあれば、Ａ×Ｂはカップルとして成立するすべての可能性の集合ということね。(同性愛者はどうするんだ、とか言わないように)

Ａの要素 a とＢの要素 b に関係があるかないかをＡ×Ｂの部分集合Ｒとして定義します。例えば婚姻関係を考えることは、Ａ×Ｂで「結婚しているペア全体の集合」を考えるということです。

(a, b) ∈ Ｒ を関係という概念を強調するために、別の表記 aRb を使うこともある。雰囲気は a (is married with) b

お礼

a (is married with) b
は分りやすいです。回答ありがとうございました、なんか難しく考えすぎてたようです