直積集合の空集合と全集合

質問

σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と
全集合は何になるんでしょうか？ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを
もとに作られているとします。

{A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*)

空集合を0で表記すると、(*)の空集合は0×0、全集合はY×Zと思った
のですが、正しいでしょうか。また、0×BやA×0はどう扱うのでしょうか。
Y×BとA×Zは全集合ではないというのはなんとなくわかるのですが…。

よろしくお願いします。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

全集合は Y×Z ですが，空集合は 0 です．
（空集合を，元となった集合に応じて区別することはしません）

ただし，実は 0 = 0×0 = 0×B = A×0 なので，
質問者さんの答えでも，間違っていないことになります．

なお，この等号は直積集合の定義を確認すれば分かります．つまり，
　0×B = { (a,b) | a ∈ 0, b ∈ B }
であり，a ∈ 0 なる a が存在しないので，右辺は要素を持ちません．

お礼

ご回答ありがとうございます。
おかげで理解が進みました。