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直積集合の空集合と全集合

σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを もとに作られているとします。 {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) 空集合を0で表記すると、(*)の空集合は0×0、全集合はY×Zと思った のですが、正しいでしょうか。また、0×BやA×0はどう扱うのでしょうか。 Y×BとA×Zは全集合ではないというのはなんとなくわかるのですが…。 よろしくお願いします。

noname#209416
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全集合は Y×Z ですが,空集合は 0 です. (空集合を,元となった集合に応じて区別することはしません) ただし,実は 0 = 0×0 = 0×B = A×0 なので, 質問者さんの答えでも,間違っていないことになります. なお,この等号は直積集合の定義を確認すれば分かります.つまり,  0×B = { (a,b) | a ∈ 0, b ∈ B } であり,a ∈ 0 なる a が存在しないので,右辺は要素を持ちません.

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