secret-gooさん、こんにちは。
>A×B、C×Dは直積集合をして、
(A×BがC×Dの部分集合) ⇔
(AはCの部分集合、かつBはDの部分集合)
自信ないんですけど、まず直積集合の定義から。
A×B={(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}
今、集合Aの要素が
a1,a2,a3,・・・anとし
集合Bの要素が
b1,b2,b3,・・・bmとする。
A×B={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
までのnm個である。
A×B⊆C×Dであるから、
C×Dの要素は、
{(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
を全て含んでいる。
C×D={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
・・・・(an,b1)・・・(an,bm)
(c1,d1)・・・(c1,dl)・・・・(ci,d1)・・・(ci,dl)}
のようにおける。
このとき、定義より
a1,a2,・・・an,c1,c2,・・・ci∈C
b1,b2,・・・bm,d1,d2,・・・dl∈D
であるから、
A⊆C,B⊆Dが成立。
逆に、A⊆C,B⊆Dであるならば、
∀a∈A⊆Cより、a∈C
∀b∈B⊆Dより、b∈D
なので、その直積をとったものについても
{(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}について
a∈C,b∈Dがいえているから
{(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}⊆C×D
ゆえにA×B⊆C×D
ちょっと自信ありません。
お礼
>空が混じってる場合、例えば、A≠B=C=D=空のときは、どうなるでしょう? 確かにそうですね。 今度先生に聞いてみることにします。 回答ありがとうございました。