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直積集合の証明問題

A×B、C×Dは直積集合をして、 (A×BがC×Dの部分集合) ⇔ (AはCの部分集合、かつBはDの部分集合) という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、 逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。 どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.2
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)

A,B,C,Dは空ではないとします。 E⊆Fとは「x∈E⇒x∈F」のことでした。 E×F={(x,y)|x∈Eかつy∈F}なので、 「(x,y)∈E×F⇔(x∈Eかつy∈F)」です。 証明: (=>)A×B⊆C×Dを仮定する。  x∈Aとすると…   Bは空でないので適当なb∈Bをとれば、   直積の定義により(x,b)∈A×B。   仮定によって(x,b)∈C×D。   直積の定義によってx∈Cを得る。  同様にx∈Bとするとx∈Dを得る。  故にA⊆CかつB⊆D。 (<=)A⊆CかつB⊆Dと仮定する。  (x,y)∈A×Bとすると…   直積の定義によってx∈Aかつy∈B。   仮定は、x∈Aからx∈Cをy∈Bからy∈Dを導く。   直積の定義によって(x,y)∈C×D。 空が混じってる場合、例えば、A≠B=C=D=空のときは、どうなるでしょう? 自信はないですよ。

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質問者からのお礼

>空が混じってる場合、例えば、A≠B=C=D=空のときは、どうなるでしょう? 確かにそうですね。 今度先生に聞いてみることにします。 回答ありがとうございました。

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  • 回答No.1

secret-gooさん、こんにちは。 >A×B、C×Dは直積集合をして、 (A×BがC×Dの部分集合) ⇔ (AはCの部分集合、かつBはDの部分集合) 自信ないんですけど、まず直積集合の定義から。 A×B={(a,b)|∀a∈A,∀b∈B} 今、集合Aの要素が a1,a2,a3,・・・anとし 集合Bの要素が b1,b2,b3,・・・bmとする。 A×B={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)    ・・・・(an,b1)・・・(an,bm)} までのnm個である。 A×B⊆C×Dであるから、 C×Dの要素は、 {(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)    ・・・・(an,b1)・・・(an,bm)} を全て含んでいる。 C×D={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)    ・・・・(an,b1)・・・(an,bm) (c1,d1)・・・(c1,dl)・・・・(ci,d1)・・・(ci,dl)} のようにおける。 このとき、定義より a1,a2,・・・an,c1,c2,・・・ci∈C b1,b2,・・・bm,d1,d2,・・・dl∈D であるから、 A⊆C,B⊆Dが成立。 逆に、A⊆C,B⊆Dであるならば、 ∀a∈A⊆Cより、a∈C ∀b∈B⊆Dより、b∈D なので、その直積をとったものについても {(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}について a∈C,b∈Dがいえているから {(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}⊆C×D ゆえにA×B⊆C×D ちょっと自信ありません。

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質問者からのお礼

なるほど、集合の要素を書いていけば確かに証明できますね。ありがとうございます。参考にさせてもらいます。

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