直積集合の証明問題

質問

A×B、C×Dは直積集合をして、
（A×BがC×Dの部分集合）　⇔
（AはCの部分集合、かつBはDの部分集合）
という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、
逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。
どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

jmh

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは空ではないとします。

Ｅ⊆Ｆとは「ｘ∈Ｅ⇒ｘ∈Ｆ」のことでした。
Ｅ×Ｆ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ∈Ｅかつｙ∈Ｆ｝なので、
「（ｘ，ｙ）∈Ｅ×Ｆ⇔（ｘ∈Ｅかつｙ∈Ｆ）」です。

証明：
（＝＞）Ａ×Ｂ⊆Ｃ×Ｄを仮定する。
　ｘ∈Ａとすると…
　　Ｂは空でないので適当なｂ∈Ｂをとれば、
　　直積の定義により（ｘ，ｂ）∈Ａ×Ｂ。
　　仮定によって（ｘ，ｂ）∈Ｃ×Ｄ。
　　直積の定義によってｘ∈Ｃを得る。
　同様にｘ∈Ｂとするとｘ∈Ｄを得る。
　故にＡ⊆ＣかつＢ⊆Ｄ。
（＜＝）Ａ⊆ＣかつＢ⊆Ｄと仮定する。
　（ｘ，ｙ）∈Ａ×Ｂとすると…
　　直積の定義によってｘ∈Ａかつｙ∈Ｂ。
　　仮定は、ｘ∈Ａからｘ∈Ｃをｙ∈Ｂからｙ∈Ｄを導く。
　　直積の定義によって（ｘ，ｙ）∈Ｃ×Ｄ。

空が混じってる場合、例えば、Ａ≠Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝空のときは、どうなるでしょう？

自信はないですよ。

お礼

＞空が混じってる場合、例えば、Ａ≠Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝空のときは、どうなるでしょう？

確かにそうですね。
今度先生に聞いてみることにします。
回答ありがとうございました。

回答No.1

fushigichan

secret-gooさん、こんにちは。

＞A×B、C×Dは直積集合をして、
（A×BがC×Dの部分集合）　⇔
（AはCの部分集合、かつBはDの部分集合）

自信ないんですけど、まず直積集合の定義から。

A×B={(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}

今、集合Aの要素が
a1,a2,a3,・・・anとし
集合Bの要素が
b1,b2,b3,・・・bmとする。

A×B={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
　　　・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
までのnm個である。

A×B⊆C×Dであるから、
C×Dの要素は、
{(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
　　　・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
を全て含んでいる。

C×D={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
　　　・・・・(an,b1)・・・(an,bm)
(c1,d1)・・・(c1,dl)・・・・(ci,d1)・・・(ci,dl)}
のようにおける。
このとき、定義より
a1,a2,・・・an,c1,c2,・・・ci∈C
b1,b2,・・・bm,d1,d2,・・・dl∈D
であるから、
A⊆C,B⊆Dが成立。

逆に、A⊆C,B⊆Dであるならば、
∀a∈A⊆Cより、a∈C
∀b∈B⊆Dより、b∈D
なので、その直積をとったものについても

{(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}について
a∈C,b∈Dがいえているから
{(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}⊆C×D
ゆえにA×B⊆C×D

ちょっと自信ありません。

お礼

なるほど、集合の要素を書いていけば確かに証明できますね。ありがとうございます。参考にさせてもらいます。