• 締切済み

集合の問題です

A´,B´はおのおの集合A,Bの部分集合であるとする(A´⊂A,B´⊂B)。 直積集合に関して、次のことを示せ。 (1) A×BーA´×B´=((AーA´)×B)∪(A×(BーB´)) (2) A×B=(A´×B´)∪(A´×(BーB´))∪((AーA´)×B´)∪((AーA´)×(BーB´)) (ディスジョイント) ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー どうやって考えれば、よいのでしょうか。

みんなの回答

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

X=Y を示すときは通常、X⊂Y かつ X⊃Y を示すことが多いですね。

関連するQ&A

  • 集合の問題です。

    直積集合の問題です。 次の命題を証明したいのですが…教えてください!! 命題:AをXの部分集合、BをYの部分集合とすれば、等式 (X×Y)-(A×B)=((X-A)×Y)∪(X×(Y-B)) が成り立つ。 この証明をしてください。お願いします!!

  • 直積集合について質問です

    直積集合について質問です。 直積集合を定義することによってどのような利点が生まれるのですか? また集合Aと集合Bの直積集合において、集合Aの部分集合fを要素と考えて集合Bの要素と部分集合fを組にすることは可能ですか?

  • 直積集合の証明問題

    A×B、C×Dは直積集合をして、 (A×BがC×Dの部分集合) ⇔ (AはCの部分集合、かつBはDの部分集合) という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、 逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。 どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

  • 「直積集合の全集合」とは?

    別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html を見ていて気になった点についてです。 「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか? 通常、「空集合」や「全集合」は、何らかの集合の ベキ集合族に対して定義される概念かと思います。 一般の集合族に対する「全集合」とは、どのように 定義されるのでしょう? 「集合族Φの全集合」と言ったら、Φ自身のことでしょうか、 それとも、Φの最大元のことでしょうか? ご存知の方、解説よろしくお願いします。 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、 ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている Ψ×Ω = { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、 ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。 Y と Z の空間としての直積に付随するσ集合族 という意味で 言っているのだとすれば、「直積」は、このΨ×Ωではなく、 Ψ×Ωの任意個の元の和集合全体が成す集合族 になるハズです。 その際、「全集合」が Y×Z であることは違いありませんが… また、A×0 = 0×B = 0 と考えるなら、この式の「×」を 0 と B の集合としての直積と解釈したことになります。 Ψ×Ω = { A×B ; A∈Ψ, B∈Ω } と表記するのならば、 右辺内の A×B は、A と B の対 (A,B) という意図で 標準的でない書き方をしてしまったものと解釈すべきで、 A と B の集合としての直積ではありえません。 その場合、0×B は、Ψ×Ωの元で Y成分が 0、Z成分が B の ものであって、空集合ではありません。

  • 集合の問題

    次の問題の解答をお願いします。 S={a,b,{a,b}}で、以下の関係が成り立つ場合は○、成り立たない場合は×を記入せよ。 (1){a,b}はSの部分集合である (2)aはSのべき集合の要素である (3)φはSの要素である (4){{a,b}}はSのべき集合の要素である (5){a,{b}}はSのべき集合の部分集合である (6){a,b}はSのべき集合の部分集合である (7){a,b}はSのべき集合の要素である (8)aはSの部分集合である (9)φはSのべき集合の部分集合である (10)φはSのべき集合の要素である (11){φ,{a}}はSの部分集合である (12){{a},{b}}はSのべき集合の要素である

  • 直積集合の元は必ず集合となる?

    度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。 そして、 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。 と記載されているのですが、 これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (A×Bの元<a,b>は2^(2^(A∪B))の元?) でも 通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、 元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={<a,b>;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

  • 集合の問題でもう一問お願いします。

    集合Xの部分集合Aと集合Yの部分集合Bについて、次の等式を証明せよ。 (1)A×B=(A×Y)∩(X×B) (2)(X-A)×(Y-B)=X(エックス)×Y-((X×B)∪(A×Y)) よろしくお願いします。

  • 集合問題

    全体集合U={x|1≦x≦100、xは整数}の部分集合A,Bを A={x|xは2の倍数}、B={x|xは3の倍数}とするとき、次の集合の要素の個数を求めよ。 (1)Aの補集合  (2)A∩(Bの補集合)  (3)(A∪B)の補集合  (4)(A∩B)の補集合 回答できる方いらっしゃいましたら宜しくお願いします

  • 直積集合の空集合と全集合

    σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と 全集合は何になるんでしょうか?ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを もとに作られているとします。 {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*) 空集合を0で表記すると、(*)の空集合は0×0、全集合はY×Zと思った のですが、正しいでしょうか。また、0×BやA×0はどう扱うのでしょうか。 Y×BとA×Zは全集合ではないというのはなんとなくわかるのですが…。 よろしくお願いします。

  • 集合について

    任意の集合A1, A2, …, An, B1,B2, …, Bnに対して、 Ai⊂Bi (i=1,2, …,n)ならば、その直積集合で、 A1×A2×…×An⊂B1×B2×…×Bnが成り立つ は正しいですか?