集合の問題

質問

次の問題の解答をお願いします。

S={a,b,{a,b}}で、以下の関係が成り立つ場合は○、成り立たない場合は×を記入せよ。

(1){a,b}はSの部分集合である
(2)aはSのべき集合の要素である
(3)φはSの要素である
(4){{a,b}}はSのべき集合の要素である
(5){a,{b}}はSのべき集合の部分集合である
(6){a,b}はSのべき集合の部分集合である
(7){a,b}はSのべき集合の要素である
(8)aはSの部分集合である
(9)φはSのべき集合の部分集合である
(10)φはSのべき集合の要素である
(11){φ,{a}}はSの部分集合である
(12){{a},{b}}はSのべき集合の要素である

回答No.3

mayo24

AがSの部分集合であるとは、
Aの要素がすべてSの要素になっていることですね。

たとえば、{a, b, c}の部分集合と言えば、
{}
{a}
{b}
{c}
{a, b}
{a, c}
{b, c}
{a, b, c}
の、8個（2の3乗個）の部分集合が存在します。

今回、S={a, b, {a, b}}ですので、
cの代わりに{a, b}を用いるだけです。
すなわち、Sの部分集合は、
{}
{a}
{b}
{{a, b}}
{a, b}
{a, {a, b}}
{b, {a, b}}
{a, b, {a, b}}

Sのべき集合とは、Sの部分集合全体からなる集合です。
すなわち、
{ {}, {a}, {b}, {{a, b}}, {a, b}, {a, {a, b}}, {b, {a, b}}, {a, b, {a, b} }
の、8個（2の3乗個）の要素からなる集合になります。

あとは、空集合{}をφと書くということはご存じですよね。

それと気をつけていただくのが、
「部分集合」と「要素」の区別。
A={1, 2, 3, 4}としたとき、
1はAの要素であるがAの部分集合でない。
{1}はAの部分集合であるがAの要素ではない。
{1,3}はAの部分集合であるが当然Aの要素ではない。
φはAの部分集合であるがAの要素ではない。

以上の予備知識があればおたずねの問題は簡単でしょう。
酔っぱらっている私でも答えることができます。

(1) aもbもSの要素である。○
(2) aはSの要素ではあるがSの部分集合ではない。×
(3) φはSの部分集合であるがSの要素ではない。×
(4) {{a, b}}はSの部分集合である。○
(5) aはSの要素であるがSの部分集合ではない。すなわちSのべき集合の要素ではない×
(6) aもbもSの要素であるが、Sの部分集合ではない。すなわちSのべき集合の要素ではない。×
(7) {a, b}はたしかにSの部分集合である。すなわちSのべき集合の要素である。○
(8) aはSの要素であるが部分集合ではない。×
(9) φは、あらゆる集合の部分集合である。明らかに○
(10) φは、Sの部分集合であるので、Sのべき集合の要素である。○
(11) φも{a}もSの要素ではない。×
(12) {{a}, {b}}はSの部分集合ではない。×

ご質問があればえんりょなくどうぞ。

回答No.2

Tacosan

見た感じだけど (11) 以外はあってる.
φ は S の要素ではないですよね.

回答No.1

Tacosan

あなたがどう考えてどういう答えにたどり着いたのかを書いてくれてもいいんじゃないかなぁ.

補足

私の答えは次のようになりました。

(1)○
(2)×
(3)×
(4)○
(5)×
(6)×
(7)○
(8)×
(9)○
(10)○
(11)○
(12)×

いかがですか？