集合と計算（四則）

質問

数学を大人になってからやりなおしています。
集合問題の解き方のヒントを教えてください。

集合U, A, Bがあります。
例： U={n|1≦N≦100}, A={a|a∈U, 2|a}, B={b|b∈U, 4|b}
とします。

xは掛ける（積）で、-はマイナスです。

問題：次の集合の要素がいくつか求めよ
Q1. (A x A) - (B x A)
Q2. (B∪A) × A
----------------------------

Aは {2, 4, 6, 8, 10 ...}
Bは {4, 8, 12, 16, 20...}

となると思います。
高校数学に関する本を図書館で借りて来ているのですが、集合についての説明はあっても、集合と計算が組み合わさった説明がなく、要素をみつけることができません。

上記問いは問題そのものではなく、要素を簡素なものに置き換えていますが、このような計算と集合の組み合わさった問題の解き方のヒントまたは（問題文は引用元そのものではないので）解答でもいいので教えてください。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
Aの要素の個数は50
Bの要素の個数は25
A x Aの要素の個数は50*50=2500
B x Aの要素の個数は50*25=1250
B⊂A であるから(B x A)⊂(A x A)となることに注意する。
(A x A) - (B x A)の要素の個数は2500-1250=1250
(2)
B⊂A であるからB∪A=Aとなることに注意する。
B∪Aの要素の個数は50
(B∪A) × Aの要素の個数は50*50=2500

お礼

ありがとうございます。
集合の計算のイメージがわかなかったのですが、単純の要素の個数の計算だったのですね。それでいいのかが問題見た時わかりませんでした。

回答No.2

sunabo

xの文字で表す操作に、直積があります。参考urlより。
集合の演算は、数の演算と同じ記号を使うが、違う演算です。
xは集合だと、直積、-は集合だと差集合です。

Aの要素と、Bの要素から作られる順序対の全体をAxBで表す。
参考urlには書いてないけれど、操作を見ると｛｝で括ってある。
順序対の全体は集合になる。
AxB:={（a,b）｜a∈A　∧　b∈B}
:=　コロンイコールは定義式の時に使う。
AxBを、集合で、Aの要素aとBの要素bの順序対たち全部を要素とする。と定義する。

順序対は
2つの集合A,Bに対し、Aの要素aとBの要素bを一つの組にして（a,b）で表すことにする。このような組を順序対（ordered pair）と呼ぶ。(a,b)において、aを第1成分、bを第2成分とする。

とすると、AxAは {2, 4, 6, 8, 10 ...}の要素一つと {2, 4, 6, 8, 10 ...}の要素一つを組にして集める
AxA={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),...,(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(4,10),...,(6,2),(6,4),(6,6),(6,8),(6,10),...,(8,2),(8,4),(8,6),(8,8),(8,10),...,(10,2),(10,4),(10,6),(10,8),(10,10),...,}
50の要素と50の要素の組み合わせで全部で2500個の順序対がある。

順序対の相当は(a,b)=(c,d) 同値の矢印「⇔」の上に「def」がついた記号a=c∧b=d
同値の矢印「⇔」の上に「def」がついた文字は「定義」の文字らしい。
(2,4)≠(4,2) なぜなら　不等号の左の順序対の第1成分は2、不等号の右の順序対の第一成分は4で違うから。

BxAは { 4, 8, 12, 16, 20 ...}の要素一つと {2, 4, 6, 8, 10 ...}の要素一つを組にして集める。
BxA={(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(4,10),...,(8,2),(8,4),(8,6),(8,8),(8,10),...,(12,2),(12,4),(12,6),(12,8),(12,10),...,(16,2),(16,4),(16,6),(16,8),(16,10),...,(20,2),(20,4),(20,6),(20,8),(20,10),...,}
25の要素と50の要素の組み合わせで全部で1250個の順序対がある。

BxAの要素(4,2)は、AxAの要素(4,2)と同じ。
第一成分が共に4で、第2成分が共に2だから。
BxAの要素はみんなAxAの要素の要素と重なっている。

-は差集合
2つの集合A,Bにたいし、Aに属する要素でBに属さないものの全体からなる集合
AxAから、BxAの要素の要素を全部除く。Aに属さない要素はどうなるんだろ。わからないです。そのままにするみたいです。今回は関係ないです。

AxA-BxA={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),...,　　,　　,　　,　　,　　,...,(6,2),(6,4),(6,6),(6,8),(6,10),...,　　,　　,　　,　　,　　,...,(10,2),(10,4),(10,6),(10,8),(10,10),...,}
2500個から1250個を引いて1250個です。

Q1の要素の数は1250個です。

Q2にある∪の文字は、和集合ですか?

参考URL：

http://herb.h.kobe-u.ac.jp/nst/node6.html

お礼

要素の組み合わせの例はわかりやすいです。
出題がここを求めているのかわからないのですが、とりあえず解き方はわかりました。
ありがとうございました。
ちなみに書き忘れましたが、U（ユー）は全体集合でした。

補足

∪は「しゅうごう」とローマ字入力変換して出てきた記号で、和集合だと思います。U（ユー）ではありません。