集合の証明について

質問

この問題をベン図を使わずに証明することはできますか？
集合Aと集合Bがある。
「AUB＝A」⇔「BとAの補集合は排他的（BとAの補集合の共通部分は空集合）」
左から右と右から左の証明ってどうやってやるんですか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

「A∪B＝A」⇔「B∩A^c=φ」

定義に従って順番にやればいいだけ
ちなみにベン図を使うだけのは，証明には
まったくなっておらず「説明」でしかない

ものすごくレポートっぽいけど
ここまで基礎すぎると，これだけわかってもだめかも・・

←の証明
A∪B ⊃ A は明らか
つぎに
A∪Bの任意の元 a をとる．
aはAの元かBの元である
Aの元ではないとする（a∈ A^c）
このとき，aはBの元である
つまり，a ∈ B∩A^c
これは B∩A^c=φ に反する
したがって，a∈ A
よってA∪B ⊂ A
したがって　A∪B＝A

→の証明

B∩A^cがφではないとすれば
ある元 x ∈B∩A^c が存在する
よって，
x ∈B∩A^c ⊂ B ⊂ B∪A = A
これは x ∈B∩A^c ⊂ A^c に矛盾
したがって
B∩A^c=φ