集合の問題です。

質問

集合の問題です。
｛（AまたはB）＝（AまたはC）｝かつ｛（AかつB）＝（AかつC）｝ならばB=Cであることを証明する問題です。
よろしくお願いします。

回答No.9

Tacosan · ベストアンサー

すみません, ちょっと #8 で書き忘れました.

B ⊂ C を導くところはもっと親切に書くと
x∈B を仮定すると x∈A∪B = A∪C なので x∈A または x∈C.
x∈A なら x∈B を仮定しているので x∈A∩B = A∩C より x∈C.
一方 x∈A でなければ x∈A∪C より x∈C.
従って x が A に属するかどうかに関係なく x∈C といえ, 「x∈B ならば x∈C」なので B ⊂ C.
くらいにはなりますね.

まあここまでやると細かいところまで書きすぎている感じもしますが.

お礼

回答してくださったみなさん、こんな無知な僕に丁寧かつ親切に教えてくださって
本当にありがとうございました。
これからはもっと自分の力で解けるように力をつけたいと思いますが、
また困ったときは助けてくださるとありがたいです。

回答No.8

Tacosan

おっと, 補足に何も答えてない. すみません.

最後の「よってｘ∈B＝C」はちょっと気になりますが, 基本的にそれで OK. ここで要素を持ち出しても意味はありません. つまり「x∈」の部分は余計で, 集合間の関係としてシンプルに B = C とすべきでしょう.

そして, その集合間の関係を見せるために, その前の「x∈B を仮定して～」とか「x∈C を仮定して～」のところでも「B と C の関係」を明確にしておけば「より読みやすい証明」になります. 例えば, 前半の
だから、ｘ∈C
のあとで
x∈B のとき x∈C なので B ⊂ C
と「B と C の関係」をきちんと明記しておく. その次でも, 「C ⊂ B」まで書いておけば読む人が安心できます.

もっというと, 最初に「B = C を証明するため, B ⊂ C かつ C ⊂ B であることを示す」とまで書けば証明のストーリーがわかるのでさらに読む人を安心させることはできる... けど, やりすぎのような気もする.

お礼

何度も丁寧におしえていただきありがとうございます！
Tacosanさんのおかげで自分の証明もよりすっきりしたものに
改善できました。本当にありがとうございました！

回答No.7

Tacosan

やりようはいくつもあるけど, 例えば
B = [(A∪B)＼A]∪(A∩B)
ですね (ベン図で確認してみてください).

回答No.6

Tacosan

「集合の問題」というからには A, B, C は集合だと思っていい? だとしたら, 集合同士の「または」とか「かつ」って何?

あと, 「難しく感じる」というだけなら何がしか考えたはずだよね. 何をどう考えた?

補足

回答ありがとうございます。
はい。A,B,Cは集合です。または、かつに関しては、間違えて使っていました。すみません。
今後誤解のないように気をつけます。

僕の考えとしては、

ｘ∈Bとすると、
ｘ∈A∪B＝A∪Cより
（ｘ∈A）⋁（ｘ∈C）
ｘ∈Aのとき、仮定よりｘ∈A∩B＝A∩C
だから、ｘ∈C

ｘ∈Cとしたときも同様にしてｘ∈B

よってｘ∈B＝C

かなと思っていますがどうでしょうか。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

もっともストレートなやり方は式が恒真命題だと示せばよい。

つまり A, B, C の全ての論理値の組み合わせで式が真ならおしまい。

「ならば」の左右の式の値を　「左」、「右」 とすると

ABC 左 右 左⇒右
000 1 1 1
001 0 0 1
010 0 0 1
011 1 1 1
100 1 1 1
101 0 0 1
110 0 0 1
111 1 1 1

以上。オンラインなので間違っていたらごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございます。こんな方法もあるのですね。
証明法１つとってもたくさんの考え方があるので、
改めて数学っておもしろいなとおもいます。

回答No.4

alice_44

便図じゃなかったのか…

回答No.3

Tacosan

集合の「または」とか「かつ」ってなんだろう. あと, ちょっとくらい自分で考えようとは思わないんだろうか.

余談ですが Benn じゃなくて Venn です＞#2.

補足

すみません。自分としては難しく感じるのです。
＞#3さんはどのように解くのか教えて頂けますか？

回答No.2

B-juggler

う～ん、このレベルで丸投げはちょっと・・・。

今は高校でもやるのかなぁ？　そうなら少し気は楽だけど。

または　や　かつ　それから　＝　の使い方ね。

ちゃんと使いましょうね。

｛（Ａ∨Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ）｝∧｛（Ａ∧Ｂ）⇔（Ａ∧Ｃ）｝　⇒　Ｂ⇔Ｃ

こういうときは、対偶かな？　背理法もあるけど、対偶が早いかな？

￢（Ｂ⇔Ｃ）　⇒　￢｛（Ａ∨Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ）｝∧｛（Ａ∧Ｂ）⇔（Ａ∧Ｃ）｝

右側を、ド・モルガンで書き直せば、そんなに難しくないし、

そもそも、Ｂｅｎｎ図でも、左辺（問題の）に当たるような

物は、Ｂ⇔Ｃ　しかない　のは、見えると思うけど。

書いてみてください。そのほうが早いね。

それ理解したうえで、対偶とって式として証明できれば尚よろし。

くらいな感じでしょう。

専門じゃないんだろうから、難しく考えないことですよ。まずね。

ただ！　必要最低限のことは、調べたり、知ろうとがんばって。

自分でやらないとね。ある程度は。

人に聞くのは恥ではないからね。

知ろうとしないのが恥。最初から知っている人間なんていない。

人様に頼る癖はできるだけ早くに捨てよう。

本職でもそういう癖がつくよ～。そうなるともう使い物にならない、

コピーロボットの出来上がりになります。

「ド・モルガンの定理」　で調べね。

これくらいはすぐ分かるから。　「対偶」も分からなければ。

それだけでこれは解けますよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

ご親切な回答ありがとうございます。
ド・モルガンの定理、対偶などはわかるのですが、
式で証明する際、どのように表したらよいのかがわかりません。
無知な奴だと思われるでしょうが、教えてください。

回答No.1

DJ-Potato

（A,B)：集合Aと集合Bの双方に含まれる部分
（A,-)：集合Aに含まれ、集合Bに含まれない部分
(-,B)：集合Bに含まれ、集合Aに含まれない部分
(-,-)：集合Aにも集合Bにも含まれない部分

(AまたはB)=(A,-)+(A,B)+(-、B)
　この時、(AまたはC)なので、Cは(-、B)をすべて含むことになります。
(AかつB)=(A,B)
　この時、(AかつC)なので、Cは（A,B)をすべて含み、(A,-)は含まないことになります。
（A,B)と(-,B)を含み、(A,-)は含まない範囲は、そりゃBのことでしょう。
∴B=C
なのです。

もしくは

B≠Cとすると
(1)Cが(A,-)の一部ないし全部を含む場合
　(AかつB)≠(AかつC)のため不適
(2)Cが(-,-)の一部ないし全部を含む場合
　(AまたはB)≠(AまたはC)のため不適
(3)Cが(-,B)の一部または全部を含まない場合
　(AまたはB)≠(AまたはC)のため不適
(4)Cが(A,B)の一部または全部を含まない場合
　(AかつB)≠(AかつC)のため不適
(1)(2)(3)(4)いずれの場合も、｛（AまたはB）＝（AまたはC）｝かつ｛（AかつB）＝（AかつC）｝は否定されるため、
対偶である｛（AまたはB）＝（AまたはC）｝かつ｛（AかつB）＝（AかつC）｝⇒B=Cは真

お礼

回答ありがとうございます！
当たり前のことだとわかるのですが、証明となると頭がこんがらがってしまいます＾＾；