集合についての問題です。

質問

大学で集合の勉強を始めました。
そこで下記の命題の証明をどうしたらいいのかわからないので教えてください。

命題１：Ａ⊂ＢならばＡ－Ｃ⊂Ｂ－Ｃであり、Ｄ⊂ＣならばＢ－Ｃ⊂Ｂ－Ｄである。

命題２：次式はいずれもＡ⊂Ｂと同値である。
（１）Ａ∪Ｂ＝Ｂ
（２）Ａ∩Ｂ＝Ａ
（３）Ａ－Ｂ＝ø
（４）Ａ∪（Ｂ－Ａ）＝Ｂ
（５）Ａ＝Ｂ－（Ｂ－Ａ）

証明をお願いします。教えてください。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

＃１fushigichanです。
命題２ですが、

＞次式はいずれもＡ⊂Ｂと同値である。
（１）Ａ∪Ｂ＝Ｂ
これを考えてみたいと思います。

A∪B=Bという条件が、A⊂Bと同値であることを証明するには、
A∪B=B→A⊂Bを言うことと、
A⊂Ｂ→A∪B=Bを言えればよいです。

まず、A⊂Ｂ→A∪B=Bを証明します。
A⊂Bということは、すなわち
∀x∈A→x∈Bということである。・・・（☆）
このとき、
x∈A∪B→x∈Aまたはx∈B
（☆）より、x∈B
よって、A∪B⊆B
また、A∪B⊇Bは明らか。
よって、このとき、A∪B=B

A∪B=Bのとき、
∀x∈Aを考えると、x∈A∪Bであるが
A∪B=Bより、x∈B
よって、A∪B=B→A⊂Ｂ

以上のことから、A∪Ｂ＝ＢとＡ⊂Ｂは同値である。

残りの問題も、同様にして考えればいいと思います。

回答No.1

fushigichan

kyon1110さん、こんばんは。
命題１ですが、
＞Ａ⊂ＢならばＡ－Ｃ⊂Ｂ－Ｃであることを証明する。

x∈A-C→x∈Aかつx not∈C

ここで、A⊂Bだから、∀x∈A→x∈B
よって、
x∈A-C→x∈Aかつx not∈C
　　　→x∈Bかつx not∈C
ゆえに、A-C⊂B-C

＞Ｄ⊂ＣならばＢ－Ｃ⊂Ｂ－Ｄである。

D⊂C→C^c(Cの補集合)⊂D^c(Dの補集合）
x∈Ｄ→x∈Ｃだから、x∈C^c→x∈D^c

ｘ∈B-C→x∈Bかつx not∈C
　　　　x∈Bかつx∈C^c
　　　→x∈Bかつx∈D^c
　　　→x∈B-D
よって、B-C⊂B-D

となると思います。