確率論

質問

（Ω,P) を確率空間とする
(1)　分割　Ω＝∪[i=1,n] Bi, Bi∩Bj=空集合　(i≠j）があるとする。
　　このとき、任意の部分集合A⊂Ωに対して　
P(A)＝Σ[i=1,n] P(A|Bi)P(Bi)　　が成立することを証明せよ。

（2)　C,D ⊂Ω　がP(C)＞０、P(D)＞０を満たすと仮定する。
　　　このとき任意のA⊂Ω　において
　　　Pc（A|D)=P(A|C∩D)　が成立することを証明せよ。

という問題で、(1)は感覚的には合っているというのが分かりますが、
数学的な証明が分かりません。
P(A|B)＝P(A∩B)/P(B)　という式を利用したらよいのでしょうか？

(2)に関しては全く分からず、何故、P(C)、P(D)を　＞０　と仮定する
必要があるのでしょうか。
Pが確率であるなら必ず＞０になるのではないのでしょうか？？

回答No.2

tecchan22 · ベストアンサー

Pc(A)の定義は何でしょうか？

(a)　P(A|C)と同じことですか？
つまり、P(A∩C)/P(C)　という条件付確率のことですか？　（そういう使い方もよく見る）

(b)　それとも、P(A|B)に対してのみ定義する、
　Pc(A|B)=P(A∩C|B∩C)　　が定義ですか？　（そういう定義もありうる。詳しくなくて済みません）

まあどちらにせよ、「全体をＣに制限する」ということで、
同じ様なものですが。
このどちらかということで、話を進めます。

(1)は、
右辺＝しぐま{P(A∩Bi)/P(Bi)}×P(Bi)
＝しぐまP(A∩Bi)
　　＝P(A)　　（Biたちは、Ωの互いに素な分割だから）
ですね。

(2)は、
(a)の場合、　　左辺＝Pc(A∩D)/Pc(D)
　　　　　　　　 ＝{P(A∩D∩C)/P(C)}/{P(D∩C)/P(C)}
　　　　　　　　　　＝P(A∩D∩C)/P(D∩C)
　　　　　　　　　　＝右辺

(b)の場合、　　左辺＝P(A∩C|D∩C)
　　　　　　　　　＝P(A∩D∩D∩C)/P(D∩C)
　　　　　　　　　＝P(A∩D∩C)/P(D∩C)
　　　　　　　　　＝右辺
ですね。

(a)(b)いずれの定義にせよ、P(C),P(D)が０でないことだけでなく、
P(C∩D）が０でないことが必要だと思います。

でないと、右辺が定義されませんから。

※条件付確率P(A|B)は、P(A∩B)/P(B)　のことだから、
P(B)=0　の時には定義されない。なので、P(A|B)　を考えるときには、
P(B)≠０が必要

以上です。

お礼

丁寧な解説　ありがとうございます。
おかげ様でよく理解でしました。

定義は(a)の意味で使われていました。

(2)の右辺を　P( A | C∩D )　ではなくP( A|C ∩ D )
と読んでしまっていて、どつぼにはまりかけている所でした。

回答No.3

tecchan22

＞(2)の右辺を　P( A | C∩D )　ではなくP( A|C ∩ D )
と読んでしまっていて、どつぼにはまりかけている所でした。

なるほど、そういうことでしたか！それは、どつぼにはまりますよね。
^^

＞定義は(a)の意味で使われていました。

うん、いや実は僕もこの定義以外で使われているのを見たことはないです。(>_<)
だけど、同じ意味の記号を二つも同時に使うかな？とちょっと不安になったので、別の意味を考えてみただけです。
よく考えたら、(b)の定義の記号は、あまり意味がないですね。
条件付確率の記号で十分ですから。

ではお互い勉強頑張りましょう！

回答No.1

Tacosan

(1) はおそらくその通りで, P(A|B) = P(A∩B) / P(B) を使うんでしょう.
(2) ですが, 確率の定義からは P(C) ≧ 0 です. 例えば Ω = N (自然数), P(・) を「1～6 までが書かれている普通のさいころを振ったときに, 出た目が与えられた集合に属している確率」とすると P({7, 8}) = 0 ですね.

お礼

ありがとうございます。
P(C)が０でないかどうかが大事なんですね。
P(C)＜０　になることがあるのかと思い、まごついてしまいました。