【統計学】全確率の公式の証明

質問

こんにちは。よろしくお願いします。

『Ａ、Ｂを事象とし、Ｐ(Ｂ)＞０であるとき、
　Ｐ(Ａ｜Ｂ)＝Ｐ(Ａ∧Ｂ)／Ｐ(Ｂ)
　を事象Ｂが与えられたときの事象Ａの条件付き確率という。』

これに関連して、

〈全確率の公式〉
Ω：全事象
｛Ａｉ：i=１,２,...｝:互いに排反な事象の列
　　　　　　　　　　 Ω＝ＵＡi
　　　　　　　　　　　⇒任意の事象Ａに対して、
　　　　　　　　　　　Ｐ(Ａ)＝ΣＰ(Ａi)Ｐ(Ａ｜Ａi)
※Ｕはi=1から∞
　ＡiのiはＡの右下に小さくつきます（Ａ_i）　　　
　Σはi＝１から∞

を証明したいと思っています。
そこで、以下のように考えましたが…

（証明）
（左辺）＝ΣＰ(Ａi)Ｐ(Ａ｜Ａi)
　　　　＝ΣＰ(Ａi)×Ｐ(Ａ∧Ａi)／Ｐ(Ａi)
　　　　＝ΣＰ（Ａ∧Ａi）

ここからがわかりません。変形して右辺Ｐ(Ａ)の形にしたいのですが、
どのように考えたらよいでしょうか。お力をお貸しください。

回答No.3

fef

> AはAi(i=1,2,…,∞)のうちの任意の事象であるので

これは間違いです．
この定理において，事象 A は事象 A_1, A_2, ... の一つである必要はありません．

例えば，サイコロを 1 回振って出る目を考えるとき，標本空間 Ω は
　Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
となるわけですが，このとき，
　A_i = {1, 2, 3, 4, 5, 6} if i = 1,　{ } otherwise
とすれば，これは Ω を分割していますね．
ここで，事象 A として，
　A = {1}
とでもしてやれば，明らかに A は A_1, A_2, ... のいずれとも異なる集合ですよね．

この定理においては，集合 A がいくつかの A_i にまたがっていてもよいのです．

"事象 A ∩ A_1, A ∩ A_2, A ∩ A_3, ... は互いに素であるので
　Σ_i P(A ∩ A_i) = P(∪_i (A ∩ A_i)),"
という主張なら可能です．
これもまた確率の可算加法性によります．
（ANo.1で可算という字を誤変換していました．）

お礼

大変わかりやすく説明していただき、ありがとうございました。

お礼の挨拶が遅くなってしまい、申し訳ありません。

回答No.2

fef

ANo.1に補足です．

変な書き方をしてしまい，混乱させてしまったようですね．
"and"は共通部分"∩"の意味で使い，"cup"は合併"∪"の意味で使っています．
つまり，
　P(A) = P(A ∩ Ω) = P(A ∩ ∪_i (A_i)) = P(∪_i (A ∩ A_i))
と書いたつもりでした．

確率の加算加法性とは，確率測度の定義の一部である
　互いに素な可算個の事象列 A_1, A_2, A_3, .. に対して，
　　P(∪_i (A_i)) = ΣP(A_i)
という性質のことです．
確率の基本性質を導く際には，この性質が非常に重要な役割を果たします．

お礼

回答ありがとうございます！

なんども申し訳ありません。

私も自分で考えてみたのですが、以下の考え方でもよろしいでしょうか？

(右辺)
=ΣP(Ai)P(A｜Ai)
=ΣP(Ai)×P(A∩Ai)／P(Ai)
=ΣP(A∩Ai)
「AはAi(i=1,2,…,∞)のうちの任意の事象であるので、」
=P(A∩A)
=P(A)

というふうに変形出来ますでしょうか？

お願いします！

回答No.1

fef

P(A) = P(A and Omega) = P(A and cup(A_i)) = P(cup(A and A_i))
であることと確率の加算加法性を用います．
個々の (A and A_i) が互いに素であることに注意しましょう．

あと，お書きになった証明中の「左辺」は「右辺」の間違いですよね．

お礼

回答ありがとうございます。
返信が遅れてしまい、申し訳ありませんでした。

失礼ですが、もういくつか質問させていただいてよろしいでしょうか？

１、回答文中のcupは「または」という意味でよろしいでしょうか？

　　また、andは、「かつ」という意味でよろしいでしょうか？

２、確率の加算加法性とはどのような性質でしょうか？

お手数ですが、お願いいたします。