条件付き確率

質問

条件付き確率の問題で
ＡとＢは互いに排反な事象で、Ｐ(Ａ)＝0.2、Ｐ(Ｂ)＝0.8である。いま、Ｐ(Ｃ│Ａ)＝0.4、Ｐ(Ｃ│Ｂ)＝0.5のとき、Ｐ(Ａ│Ｃ)を求めよ。
という問題が解けません。
誰かわかりやすく解説お願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

p(A) = p(A and C) + p(A and not C)　…[1]
p(B) = p(B and C) + p(B and not C)
p(C|A) = p(A and C) / p(A)　　　　　…[2]
p(C|B) = p(B and C) / p(B)
に
p(A), p(B), p(C|A), p(C|B) の値を代入して、連立一次方程式を解けば、
p(A and C), p(A and not C), p(B and C), p(B and not C) の値が求まります。
それを使って、
p(C) = p(A and C) + p(B and C),
p(A|C) = p(A and C) / p(C)
です。

[1] [2] の成立する理由がわかりますか？

お礼

連立一次方程式は解けたんですが
p(C) = p(A and C) + p(B and C)の式の出し方がよく分からないです・・・

補足

[1]と[2]はわかりますが連立一次方程式をどのように解けばいいのかがいまいちわかりません・・・

回答No.2

gef00675

AとBが互いに排反で、A∪Bが全事象になっていれば、
P(A∪B)=P(A)+P(B)
となるのはご存知でしょう。問題にはA∪Bが全事象とは書いてないですが、
P(A)+P(B)=0.2+0.8=1
であることから、もしA∪Bが全事象になっていないとしても、全事象からＡとＢを除いた残りの事象をEとすれば、
P(A∪B∪E)=P(A)+P(B)+P(E)=1
よって、P(E)=0になってしまい、確率を計算する際には事象Eは考えても考えなくても、以降の計算は同じ結果になります。そういうわけで、A∪Bを全事象とみなすと、
C=C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)
C∩AとC∩Bは、もちろん排反だから、
P(C)=P(C∩A)+P(C∩B)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B).
このことを使うと、P(A|C)=P(A∩C)/P(C)は
P(A|C)=P(C|A)P(A) / (P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B))
と表せます。この等式は、ベイズの定理と呼ばれています。
いろいろ応用がある等式なので、Wikipediaでもみてください。