『3^x=5を満たすxは無理数』の証明（※数IIの内容）

質問

『3^x=5を満たすxは無理数であることを示せ。』の証明問題を解いています。
解答での疑問があるのですが、
僕は塾には行っておらず、５連休で学校にも行けないので、利用させてもらいます。

載っている解答（一部）は以下です。

3^x=5を満たす有理数xが存在すると仮定する。
3^x=5>1であるから、x>0である。・・・（★）
ゆえに、x=m/n（m、nは正の整数）と表せる。
よって、3^m=5^n
これを満たすm、nの値はないから、有理数xは存在しない。
・
・
・

と続いていくのですが、（★）の部分は必要でしょうか。
言い換えると、
x>0を言わずに、x=m/n（m、nは整数かつn≠0 ⇒有理数の定義）として、
証明を進めていっても、3^m=5^nを満たすm、nは存在しないのではないでしょうか。
また、これを満たす整数m、n（n≠0）があるのであれば、教えてください。

整数の範囲で考えると、m=0、n=0の場合がありますが、
これも、x=m/n=0/0となるので、xの値は存在しないですよね？
自分でもいろいろ考えてみましたが、これくらいしか出てきません・・・

わかる方いましたら、教えてください。

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

質問文中の模範解答には、
(貴方が省略したのかも知れませんが、)
3~m=5~n となる m,n が存在しない理由
が書いてありません。
そこが、証明の一番肝心な部分なので、
「素因数分解の一意性」のヒトコトが抜けると
大幅減点なんですがね。

m,n に負数の可能性があると、
素因数分解の一意性へ持ち込む式の形が
No.2 さんの言う通り
3~m=5~n
5~m=3~n
(3~m)(5~n)=1
(5~m)(3~n)=1
の 4 通りに場合分け になってしまうので、
そのような面倒を避けるために、
早めに m,n の符号を決めてしまう
筋道を採ったのでしょう。

補足

一晩のうちに、こんなにも多くの回答ありがとうございます。
x>0を言わなくても、場合分けをすれば、面倒であるけど、証明ができることはわかりました。
が、いまいちピンとわかりません・・・（ごめんなさい・・・）
x>0を言わないときのの場合分けをする証明の模範解答も
つくってもらえませんか。
手間がかかることはわかったのですが、お願いします。

回答No.9

arrysthmia

←A No.6　No.7
ああ、しまった。そのとおり。

m, n が同符号なら 3^|m| = 5^|n|、
m, n が異符号なら (3^|m|)(5^|n|) = 1
の 2 通りだけでした。

回答No.8

ItachiMasamune

正数ではなく正の整数でした

回答No.7

ItachiMasamune

xを有理数と仮定すると、x=m/n(m,nは整数で、m≧0,n≠0)とおくことができる。
(1)n>0のとき、
3^m=5^n
素因数分解の一意性より矛盾
(2)n<0のとき、
3^m5^(-n)=1
素因数分解の一意性より矛盾

素因数分解はあくまでも正数に対して行うものなので、n<0のときは3^m=5^nではなく式変形して3^m5^(-n)=1として証明します。

回答No.6

Tacosan

x = m/n とおいているのだから, 5^m が出てくる余地はないです＞#5.
実質 #4 に書いた 2通りですね.

回答No.4

Tacosan

まあたいしてかわらないんですけどね....
3^m = 5^n (m, n は整数で n > 0) から
・m ≦ 0 → 1 = 3^(-m) 5^n
・m > 0 → 3^m = 5^n
でいずれにしても素因数分解の一意性から n = 0 になるのでダメ, と.
指数を正にした方がちょっとだけ楽, かな?

回答No.3

stomachman

m, nが正であれば、「素因数分解の一意性」という定理から、3^m=5^nを満たすm,nがないことが言えます。
　でもxが負(つまりm<0<nやn<0<mのとき)だとこの論理はそのままでは使えない。どう手直しすればいいかというと、「素因数分解の一意性」を指数が負の場合にも拡張したものを証明してやれば良いんですけど、それにはm, nの符号によって場合分けする必要があります。
　というわけで、どのみち、xの符号によって証明を場合分けしなきゃなりません。なので、最初に一番簡単なやり方で場合分けしてあるんです。

回答No.2

nag0720

x>0を言わないと証明できないのではなく、
x>0を言ったほうが証明が簡単になるからそうしているのです。

x>0を言わないと、
3^m=5^nを満たすm、nは存在するかどうかを示すために、
m≧0,n＞0　の場合
m≧0,n＜0　の場合
m＜0,n＞0　の場合
m＜0,n＞0　の場合
の４パターンを証明しなければなりません。

x>0を言っておくと、
m≧0,n＞0　の場合だけを証明すれば済みます。

回答No.1

ItachiMasamune

3^m=5^n
左辺に含まれる素因数は3のみ。右辺に含まれる素因数は5のみ。
よって矛盾。

このように素因数を使って証明をもっていきたいので、m,nは正の整数のほうが良いです。

正の整数以外には素因数は存在しません。たとえばmが負のとき3^mは整数にならず、素因数が使えません。