x^2+y^2=n×pを満たす整数x,y,nが存在する奇素数pについて

質問

x^2+y^2=n×pを満たす整数x,y,nが存在する奇素数pについて、
a^2+b^2=m×p^2を満たすa,b,mは必ず存在するでしょうか?

換言しますと、奇素数pについて
「x^2+y^2=n×pとなる整数の組x,y,nが存在する」と
「a^2+b^2=m×p^2となる整数の組a,b,mが存在する」は同値でしょうか?

19くらいまでは調べたのですが、普遍的かちょっとわからなくて…

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

x^2 + y^2 = npの両辺にmp/nをかけて
(mp/n)(x^2) + (mp/n)(y^2) = mp^2
なので(mp/n)が平方数となるような整数mの値を選んであげれば
かならずa^2 + b^2 = mp^2の形になるのではないでしょうか。

適当な整数kを用い、m = (k^2)npとおいてあげれば

(mp/n)(x^2) + (mp/n)(y^2) = mp^2
↓
(kpx)^2 + (kpy)^2 = mp^2

となるので、a = kpx, b = kpy, m = (k^2)npとなればよいことになります。